Approximation des ensembles en un point et à l'infini

Local and asymptotic approximation of sets

• Auteur / Autrice : Ali Agadi
• Direction : Jean-Paul Penot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Pau

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des ensembles

Approximation asymptotique

Résumé

Ce travail se divise en trois parties. La première partie est consacrée à une étude comparative assez complète des différentes notions d'approximation locale et de tangence locale (en un point) des ensembles. Pour cela, on introduit les versions unilatérales de quelques notions de tangence locale plus au moins classique. En utilisant la différentiabilité conique (b-différentiabilité) des applications, on s'est intéressé au cas, du cône d'approximation; ou on a donné des conditions nécessaires et suffisantes sur l'existence du cône d'approximation à un ensemble en dimension infinie. Le lien entre le cône d'approximation et la proto-différentiabilité des ensembles au sens de Rockafellar est établi. En utilisant des conditions de transversalité, on a montré l'approximation de l'ensembles des contraintes, par son cône linéarisé; conditions qui nous permettent d'avoir des conditions suffisantes d'optimalité pour un problème de programmation mathématique en dimension infinie. Enfin, en utilisant la notion d'approximation, on montre que le cône normal et le cône normal de Frechet coïncident. Dans la deuxième partie, on développe un calcul asymptotique en introduisant de nouveaux types de cônes asymptotes (cônes a l'infini); et une nouvelle notion d'approximation asymptotique (approximation a l'infini) des ensembles. Quelques règles de calcul sont établies. En utilisant plusieurs homéomorphismes, on montre le lien qui existe entre les cônes tangents usuels et les cônes asymptotes; puis, le lien entre l'approximation locale (en un point) et l'approximation asymptotique. Des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un ensemble soit asymptotiquement approxime par son cône asymptote sont établies. Enfin, des conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité pour un problème de programmation mathématique avec contraintes. Enfin des conditions nécessaires et suffisantes, pour une classe de fonctions atteignant leur minimum a l'infini sur des ensembles non bornés sont démontrées. La troisième partie est consacrée au développement de Taylor du premier ordre pour les multi-applications. Les principales applications concernent la différentiabilité de la projection métrique; quelques résultats dus à A. Auslender-R. Cominetti et A. Shapiro ont été généralisés.