Théorie d'Arakelov et courbes modulaires

Arakelov theory and modular curves

• Auteur / Autrice : Ahmed Abbes
• Direction : Lucien Szpiro
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes. Mathématiques
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes modulaires

Arakelov, Théorie d'

Résumé

Cette thèse est constituée de trois parties indépendantes. 1) Le théorème de Hilbert-Samuel "arithmétique" (un travail en commun avec T. Bouche) : on prouve un analogue "arithmétique" du théorème de Hilbert-Samuel algébrique et on en déduit un critère d'existence de sections effectives au sens d'Arakelov. Notre approche est directe et ne passe pas par le théorème de Riemann-Roch arithmétique prouvé par Gillet et Soulé. 2) Théorie d'Arakelov sur les courbes modulaires X_0(N) (un travail en commun avec E. Ullmo) : on désigne par N un entier sans facteurs carrés. Dans la première partie, on borne supérieurement l'auto-intersection du dualisant relatif de X_0(N) en fonction du niveau N et du terme constant en 1 de la dérivée logarithmique de la fonction zêta de Selberg pour Γ_0(N). Dans la seconde partie, on borne la norme sup d'une forme primitive pour Γ_0(N). On en déduit une comparaison en fonction de N des métriques d'Arakelov et de Poincaré sur X_0(N). On donne aussi une application aux courbes elliptiques de Weil fortes. 3) Conjecture de Manin pour les courbes elliptiques modulaires (un travail en commun avec E. Ullmo) : soient E une courbe elliptique de Weil forte semi-stable sur Q et c_E sa constante de Manin. On montre que c_E = 1 si le conducteur de E est impair.