Autour des conjectures de sato-tate

Around the sato-tate conjectures

• Auteur / Autrice : Philippe Michel
• Direction : Etienne Fouvry
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Dans ce travail, on s'interesse a diverses applications des lois d'equidistribution de sato-tate (qui decrivent la repartition de quantites arithmetico-geometriques interpretees comme des frobenius). La premiere partie traite des sommes d'exponentielles et plus particulierement des sommes de kloosterman kl(l,m ;n). Combinant des techniques de crible avec celles de la cohomologie l-adique, nous montrons que la minoration |kl(1,1,pq)|/2(pq)#1#/#2 0. 16 est verifiee pour une proportion positive de couples de nombres premiers (p,q). Ce resultat est etendu a d'autres familles de sommes d'exponentielles. On etudie egalement le comportement en moyenne des quantites kl(1,m ;p) et kl(1,m ;n)#k, en employant des methodes modulaires (formule de kuznetzov) ou l-adiques. Nous prouvons egalement deux nouveaux theoremes de type bombiei-vinogradov uniformes. La deuxieme partie est consacree a l'etude du rang en moyenne dans diverses familles de varietes abeliennes definies sur q. On montre, en admettant des conjectures standard (qui permettent l'application les formules explicites de weil), que quand la monodromie de la famille est irreductible, le rang de ses varietes est borne en moyenne. Dans le cas d'une famille de courbes elliptiques non isotriviale, ou d'une famille de jacobiennes issues d'un pinceau de lefschetz sur une surface, les lois de sato-tate s'appliquent et permettent d'ameliorer substantiellement la majoration generale