Formes harmoniques et cohomologie l#p sur les espaces homogenes et hyperboliques

Harmonic forms and l#p-cohomology for a homogoneous space and for real and complex hyperbolic spaces

• Auteur / Autrice : DRAGOMIRNA RUGINA ALEXANDRU
• Direction : Pierre Pansu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Soit m une variete riemannienne de dimension n,k compris entre 0 et n, p reel plus grand que 1. L'espace de cohomologie l#p est l'espace des classes de k-formes fermees a sur m, telles que la norme de a est dans l#p, modulo les differentielles de (k-1)-formes b telles que la norme de b est dans l#p. L'interet de la cohomologie l#p est que c'est un invariant de quasi-isometrie. On construit des primitives et des valeurs au bord pour les formes differentielles l#p fermees sur un espace homogene h produit semi-direct de r avec r#m par une derivation a valeurs propres positives. On traite dans cette these les questions suivantes: question 1). L'existence et l'unicite d'une forme harmonique l#p dans une classe de cohomologie l#p. On donne des exemples dans lesquels la cohomologie l#p n'est pas representee par des formes harmoniques l#p et d'autres exemples dans lesquels, pour p proche de 2, il existe des formes harmoniques l#p qui representent des classes non-nulles de cohomologie l#p et elles sont uniques dans leur classe. Sur une variete a geometrie bornee, une forme harmonique l#p est bornee, donc l#p, pour tout p' plus grand que p. Question 2). Soit a une forme harmonique l#p. Existe-t-il un nombre reel p#0, qui depend seulement du degre de la forme et non pas de la forme elle-meme, tel que a est l#p, pour tout p' compris entre p#0 et p ? on ne peut pas esperer un resultat general de ce type et on construit des contrexemples. Pour repondre a la question 2), on impose une condition de croissance sur les formes harmoniques. Les formes harmoniques a croissance uniformement moderee sur les espaces hyperboliques reels et complexes sont l#p-integrables pour p dans des intervalles precisement determinees et optimaux. Question 3). Une forme harmonique l#p est-elle fermee et (ou) cofermee ? sur une variete riemannienne complete, une forme harmonique l#2 est fermee et cofermee. On peut se demander si le resultat reste vrai pour les formes harmoniques l#p. S. T. Yau affirme que sur une variete riemannienne complete, une forme harmonique qui est dans l#p pour p un compris entre 1 et 3, est fermee et cofermee. On montre que cette affirmation n'est vraie que pour les fonctions et on decrit des contrexemples sur les espaces hyperboliques. Sur une variete riemannienne de volume infini et premier groupe de cohomologie nul, toute 1-forme harmonique fermee et l#p-integrable pour un p plus grand que 1, est aussi cofermee