Étude analytique et numérique de quelques problèmes à frontière libre et modèles de champ de phase

Analytical and numerical study of some free boundary value problems and phase field models

• Auteur / Autrice : CEDRIC DUPAIX
• Direction : Danielle Hilhorst
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Cette these est consacree a l'etude de problemes a frontiere libre et de modeles de champ de phase. Nous considerons dans la premiere partie des problemes pour lesquels la courbure moyenne de la frontiere libre apparait explicitement dans l'une des equations qui la decrivent. Nous etudions tout d'abord un probleme stationnaire, connu sous le nom d'ecoulement marangoni. La presence d'une paroi rigide rencontrant l'interface air-metal en des points anguleux nous conduit a utiliser des espaces de holder ponderes pour demontrer l'existence et l'unicite d'une solution reguliere. Nous effectuons ensuite l'etude numerique d'un probleme de stefan a une phase avec tension superficielle apparaissant en theorie de la corrosion aqueuse. Nous utilisons une methode d'elements finis pour la discretisation de l'equation de diffusion dans la phase liquide et une discretisation explicite en temps pour le calcul du deplacement du front. La methode s'appuie sur un algorithme de remaillage qui permet a la triangulation de suivre l'evolution de l'interface discrete. Dans la deuxieme partie, nous nous interessons au comportement pour les grands temps des solutions de modeles de champ de phase. La theorie des systemes dynamiques de dimension infinie constitue la base de notre etude. Les modeles consideres possedent un attracteur maximal. Le probleme plus specifique qui nous interesse ici est d'expliciter la relation entre quelques-uns des modeles les plus standards en transition de phase, et en particulier de montrer que l'on peut passer continument des equations de champ de phase aux equations de cahn-hilliard visqueuse et de cahn-hilliard. Nous demontrons que l'attracteur du modele de champ de phase est semi-continu superieurement, tout d'abord dans le cas ou la fonction non lineaire apparaissant dans les equations est polynomiale puis celui ou elle est logarithmique