Étude de problèmes de convergence et d'approximation de fonctionnelles intégrales et d'espérances conditionnelles multivoques

Convergence of integral functional and of multivalued conditional expectations

• Auteur / Autrice : Jérôme Couvreux
• Direction : Christian Hess
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Convergence (mathématiques)

Approximation, Théorie de l'

Résumé

Cette thèse, composée de cinq chapitres, traite de quelques problèmes d'approximation et de convergence au sens de Mosco d'intégrandes, de fonctionnelles intégrales et d'espérances conditionnelles multivoques. Dans le premier chapitre on étudie l'approximation au sens de la convergence de Painlevé-Kuratowski de multifonctions Effrôs-mesurables par des multifonctions mesurables et étagées, et l'approximation au sens de la convergence épigraphique d'intégrandes normaux par des intégrandes étagés et Lipschitziens. On donne également quelques propriétés des épigraphes puis l'on propose un principe de résolution d'un problème d'optimisation stochastique. L'objet du second chapitre est de démontrer que la convergence au sens de Mosco puis au sens de la slice-topology d'une suite d'intégrandes définis sur le produit d'un espace mesurable et d'un Banach de dual séparable non nécessairement réflexif, entraine la convergence des fonctionnelles intégrales, définies sur des espace Lp, qui leurs sont associées. Dans le troisième chapitre on établit qu'étant donné un intégrande f vérifiant une condition d'intégrabilité appropriée, il existe une suite d'intégrandes intégrables et Lipschitziens convergeant au sens de Mosco vers f, et que l'on peut choisir cette suite de sorte que les fonctionnelles intégrales associées et celles associées à la suite des intégrandes conjugués, vérifient une propriété similaire. Dans le quatrième chapitre on étudie la mesurabilité de multifonctions à valeurs dans le dual d'un espace de Banach séparable muni de la topologie faible *, et ce, sans supposer l'espace probabilisé complet. On utilise ensuite ce résultat pour proposer un résultat d'interversion de l'infimum de l'intégrale. Enfin au cinquième chapitre on établit une version multivoque du théorème de Lévy sur la convergence des espérances conditionnelles de suites de multifonctions à valeurs convexes fermées non nécessairement bornées.