Sur la construction des analyses multi résolutions de L2(Rn)

• Auteur / Autrice : Freddy Paiva
• Direction : Yves Meyer
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Paris 9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Riesz, Espaces de

Ondelettes

Résumé

Cette thèse apporte certaines contributions à la théorie générale des analyses multi résolutions de Rn (en abrégé AMR) et à l'étude des fonctions d'échelle scalaires à support compact sur R. Dans la première partie de cette thèse, nous montrons que l'axiome de séparation est redondant dans la définition de l'analyse multi résolution de multiplicité p. Nous généralisons la caractérisation de l'axiome de densité donnée par de Boor et al. Dans le cas des AMR classiques. Nous déterminons aussi les conditions supplémentaires qu'une fonction d'échelle vectorielle doit satisfaire pour vérifier cet axiome. Nous présentons des exemples d'AMR non localisées et nous construisons des AMR pour les espaces de Hardy généralisés. Nous étudions la propriété de base de Riesz d'un ensemble total forme par les translatées d'une ou plusieurs fonctions, en relation avec la condition de Cohen sur le filtre et avec la convergence de l'algorithme en cascade. Dans la deuxième partie, nous caractérisons l'indépendance linéaire globale des translatées de la solution distributionnelle à support compact d'une équation d'échelle définie par un nombre fini de coefficients non nuls. Si cette solution est de carré intégrable alors l'indépendance linéaire globale, et locale de ces translatées, ainsi que l'indépendance linéaire de leurs restrictions à intervalle 0,1, sont trois propriétés équivalentes. Nous en déduisons que pour déterminer la régularité de Holder globale maximale d'une fonction d'échelle à support compact qui a la propriété de base de Riesz, il suffit de vérifier la condition de Cohen sur le filtre associé et de déterminer le rayon spectral conjoint de deux opérateurs de sous-division restreints à un sous-espace de dimension finie, et qui ne dépend pas des coefficients du filtre. Pour cela nous présentons enfin une méthode de réduction basée sur la méthode matricielle classique

This thesis contains some contributions to the general theory of multiresolution analysis (abbreviated MRA) on Rn and to the study of compactly supported scaling function on R. In the first part of this thesis, we show that the so-called separation axiom is redundant in the definition of multiresolution analysis of multiplicity p. Concerning the density axiom, we generalize the characterization given by de Boor et al. In the case of classical MRA. We specify additional conditions that a vector scaling function must satisfy in order to verify the density axiom. We present non-localized MRA and we construct MRA for generalized Hardy spaces. We study the Riesz basis property of a total set formed by the translates of one or several functions, and its relationship with both the so-called Cohen condition on the filter and the convergence of the cascade algorithm. In the second part, we characterize the global linear independence of the translates of the compactly supported distributional solution of a scaling equation with a finite number of non-zero coefficients. If this solution is square integrable then the linear independence of the translates globally, locally, and restricted to interval [0,1], are equivalent properties. We deduce that to determine the optimal global Hölder regularity of a compactly supported scaling function whose translates form a Riesz basis, it suffices to check that the corresponding filter satisfies Cohen’s condition and to compute the joint spectral radius of two subdivision operators restricted to a finite dimensional subspace not depending on the filter coefficients. We present a reduction method based on the classical matrix method