Propriétés qualitatives et étude des changements de phases pour quelques problèmes non convexes du calcul des variations

Qualitative properties and study of changes of phases for some non convex problems in calculus of variations

• Auteur / Autrice : Charly Appolo Mvengue
• Direction : Gilles Aubert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Nice
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Nice-Sophia Antipolis. Faculté des sciences
• Jury : Président / Présidente : Martin Zerner
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michel Rascle
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Bernard Dacorogna, Rabah Tahraoui

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hyperélasticité

Équations aux dérivées partielles

Transitions de phases

Maximums et minimums

Calcul des variations

Résumé

Dans ce travail, on étudie l'existence et le changement de phases des déformations antiplane d'un tube T formé d'un corps hyperélastique, homogène et isotrope. Grâce à la théorie de l'élasticité tridimensionnelle, la recherche d'une configuration d'équilibre stable se ramène à la recherche d'une fonction u qui réalise le minimum de la fonctionnelle d’énergie du système. La particularité dans l'étude de ce problème est que la fonctionnelle d’énergie n'est pas convexe en [Du] (Du : gradient de la déformation) et par conséquent les résultats classiques d'optimisation ne sont pas applicables. Il est alors usuel d'adjoindre à ce problème de minimisation non convexe (P), un problème relaxe noté (PR) qui est convexe et d'établir une condition nécessaire et suffisante pour qu'une solution de (PR) soit solution de (P). Pour le type de fonctionnelle que nous étudions, l'obtention de cette condition nécessaire et suffisante passe par une étude qualitative des solutions de (PR). (convexité des ensembles de niveaux, estimations globales fines de la norme du gradient et caractérisation des points de discontinuité du gradient des solutions de (Pr)). Enfin, nous proposons un algorithme pour le calcul des solutions de (PR) (et donc de (P) en cas d'existence) dont nous prouvons la convergence en variables continues et nous terminons par quelques résultats numériques obtenus

In this work, we study the existence and changes of phases of anti-plane shear deformations of a tube made with an elastic homogenous and isotropic medium. From the three dimensional elasticity theory, the study of the existence of an equilibrum state can be reduced to that of the minimizers of the energy functional. The main motivation of this minimizing problem is that the energy functional is not convex in [Du] (Du : gradient of the deformation) and therefore the classical theory of optimization is not applicable. We then associate to this non convex problem (P), a relaxed optimization problem (PR) which is convex in [Du] and look for necessary and suffisant condtions, it is necessary to obtain some qualitative properties of solutions of (PR). (such as convexity of the upper level sets of solutions to (PR), global interior gradient estimates and caracterisation of the discontinuities of the gradient of the solutions to (PR)). Finally, we propose an algorithm which calculate numericaly a solution of (PR) and prove a convergence result for the continuous problem. Then we conclude with some numerical results