Mélange faible topologique des échanges d'intervalles et des flots sur les surfaces

Topological weakly mixing of interval exchange maps and of flows on surfaces

• Auteur / Autrice : Isabelle Lucien
• Direction : Pierre Arnoux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 2
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université d'Aix-Marseille II. Faculté des sciences (1969-2011)

Résumé

L'objet de cette these est d'etudier le melange faible topologique pour les flots speciaux au-dessus des echanges d'intervalles. On montre que, pour presque toute (au sens de la mesure naturelle sur l'espace des formes differentielles quadratiques) forme differentielle quadratique sur une surface de genre au moins 2, le flot vertical associe a cette forme ne possede pas de fonctions propres continues non triviales ; ce resultat generalise un resultat anterieur de nogueira-rudolph sur les echanges d'intervalles. Le resultat est evidemment faux en genre 1, puisqu'on considere alors des flots lineaires sur le tore, qui ont toujours des fonctions propres continues, obtenues par les projections naturelles du tore sur un cercle. Dans une premiere partie, on rappelle les resultats connus sur les echanges d'intervalles et l'induction de rauzy. Un chapitre est ensuite consacre a l'espace h (), introduit par veech, dont on donne en particulier une nouvelle caracterisation: il se definit en fonction de l'induction de rauzy. Des notions elementaires de la theorie de teichmuller nous permettent d'etablir une preuve alternative d'une partie du resultat en termes de flot de teichmuller: la dimension de l'espace des fonctions propres pour les flots verticaux associes a des formes differentielles quadratiques est constante sur un ensemble de mesure 1. Enfin, le resultat principal enonce ci-dessus est demontre a l'aide des techniques utilisees par nogueira et rudolph. On donne divers exemples (cas du tore, des pseudo-anosov,) montrant qu'on ne peut esperer mieux qu'un resultat sur un ensemble de mesure pleine