Nouvelle classification des (super) algèbres de Lie simples par le biais de leurs invariants tensoriels

New classification of simple (super-) Lie algebras by the means of their tensor invariants

• Auteur / Autrice : Mohammed El Houari
• Direction : Pierre Cartier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul tensoriel

Lie, Algèbres de

Résumé

Mon travail de thèse porte sur les algèbres de Lie, les superalgèbres de Lie et sur leurs représentations. Une nouvelle manière de classifier les algèbres de Lie simples de dimension finie a été tout récemment (vers 1988) introduite par E. Angelopoulos (Dijon/Athènes) : dans un gros travail (200 pages environ) non publié, celui-ci propose une nouvelle méthode pour retrouver la classification d'Elie Cartan. L'originalité de ce travail consiste à ne pas recourir à l'étude des poids et des racines et à n'utiliser que les méthodes du calcul tensoriel. Une bonne partie de ma thèse traite de la simplification et de la reconstitution du travail décrit ci-dessus : ceci était possible grâce à un théorème que j'ai établi en m'appuyant sur des résultats déjà anciens de mathématiciens et de mathématiciens physiciens (A. T. Stone, S. Okubo,). Suite à des discussions fructueuses que j'ai eues avec Monsieur E. Angelopoulos, celui-ci a été mis au courant de l'amélioration que j'ai apporté à son travail ; il a qualifié celle-ci de trés intéressante. Suite à cette reconstitution, on a tiré quatre applications importantes dont l'une nous a fait penser à une éventuelle généralisation de la nouvelle classification au cas des super algèbres de Lie simples de dimensions finies. D'autre part, on a developpé récemment des méthodes graphiques (spécifiques aux algèbres graduées) inspirées des disgrammes de Feynman et qui nous ont permis de traduire le calcul tensoriel en un langage tout à fait remarquable donnant des calculs trés directs. En résumé, mon travail de thèse a permis, d'une part, de rendre la classification des algèbres de Lie simples de dimension finie plus accessible aux non-spécialistes (surtout aux physiciens théoriciens) et plus commode aux mathématiciens qui travaillent à la frontière de la physique, et d'autre part, de faire un grand pas en vue de transcrire le même travail pour les super algèbres de Lie simples de dimension finie.