Analyse sur les varietes harmoniques an et d'une classe d'operateurs differentiels generalisant l'operateur de jacobi

Analysis on harmonic an manifolds and of a class of second order differential operators

• Auteur / Autrice : CHOKRI YACOUB
• Direction : Noël Lohoué
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Cette these est constituee de trois chapitres qui peuvent se lire independamment. Chapitre 1. Si on considere n un groupe de type heisenberg (notion introduite par a. Kaplan) et a identifie a r*#+ qui agit par dilatation, alors le groupe de lie an muni d'une metrique riemannienne invariante a gauche devient une variete harmonique generalisant les espaces riemanniens symetriques de type non compact et de rang un. E. Damek et f. Ricci ont observe qu'en plus de ces derniers, il y a une infinite de varietes harmoniques de type an. (infirmant ainsi une conjecture de a. Lichnerowicz). L'analyse radiale sur ces varietes n'a commence a etre etudiee que recemment par, entre autres auteurs, j. P. Anker, e. Damek et f. Ricci. Dans ce chapitre on montre que certains resultats d'analyse harmonique sur les espaces symetriques s'etendent aux varietes harmoniques a n: critere pourqu'un noyau radial positif definisse un operateur de type faible (1, 1), borne superieure du noyau de la chaleur pour l'operateur de laplace-beltrami et comme consequences: inegalite de type faible (1, 1) pour l'operateur maximal de hardy-littlewood, pour l'operateur maximal de la chaleur et pour la transformation de riesz. Chapitre 2. Entre autres auteurs, a. Achour, h. Chebli, a. Fitouhi, k. Trimeche, ont etudie une classe de laplaciens radiaux generalisant l'operateur de jacobi et en particulier la partie radiale de l'operateur de laplace-beltrami sur les varietes harmoniques a n considerees au premier chapitre. Dans ce cadre, on remarque un phenomene de kunze-stein, on obtient une borne superieure du noyau de la chaleur et du noyau de poisson et on en deduit la continuite l#p pour des fonctions de littlewood-paley-stein modifiees (introduites par n. Lohoue), pour la transformee de riesz ainsi qu'un resultat de multiplicateurs. Chapitre 3. On considere sur un espace riemannien symetrique de type compact, des differences finies de la moyenne spherique d'une fonction de l#p. Elles nous permettent de definir un espace fonctionnel de holder et d'en obtenir une caracterisation a l'aide de la theorie de l'approximation par des polynomes spheriques. C'est une generalisation des resultats de p. I. Lizorkin et s. M. Nikol'skii sur la sphere unite