Représentations p-adiques cristallines du groupe de Galois d'un corps local

Crystalline representations of a galois group of a local field

• Auteur / Autrice : NATHALIE WACH
• Direction : Jean-Marc Fontaine
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Soient p un nombre premier non nul et k un corps de caracteristique o, complet pour une valuation discrete, dont le corps residuel est parfait de caracteristique p. On se fixe k une cloture algebrique de k et on note g le groupe de galois de k sur k. J-m fontaine a construit un corps e ronde, complet pour une valuation discrete, absolument non ramifie, muni d'un frobenius et d'une action d'un groupe profini gamma, dont le corps residuel s'identifie au corps des normes d'une extension cyclotomique de k contenue dans k, et etabli une equivalence entre la categorie des representations p-adiques de g et une certaine categorie de (phi, gamma)-modules sur e ronde, c'est-a-dire de e ronde-espaces vectoriels munis d'un endomorphisme phi, semi-lineaire par rapport au frobenius sur e ronde et d'une action de gamma semi-lineaire, par rapport a l'action de gamma sur e ronde. Une equivalence similaire existe egalement entre la categorie des representations de g de torsion et une certaine categorie de (phi, gamma)-modules sur l'anneau des entiers de e ronde. Dans ce travail, on s'interesse aux representations de g qui sont cristallines ou potentiellement cristallines ; il s'agit de les decrire a l'aide de l'equivalence precedente en termes de (phi, gamma)-modules. Dans un premier temps, on enonce une condition suffisante, qui se verifie sur le (phi, gamma)-module, pour qu'une representation p-adique soit potentiellement cristalline. Dans un deuxieme temps, on etudie les representations de torsion et on enonce un resultat qui permet de voir que la condition precedente est necessaire dans un cas particulier