Décidabilité et interprétabilité dans les corps et les groupes non commutatifs

Decidability and interpretability in division rings and non-abelian groups

• Auteur / Autrice : PATRICK SIMONETTA
• Direction : Françoise Delon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Logique et fondements de l'informatique
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Les objets etudies aux chapitres i et iv sont des structures constituees par un groupe b agissant sur un groupe abelien g. Dans le premier chapitre, il s'agit d'etudier la correspondance entre les corps et leur groupe affine afin d'axiomatiser ces derniers et de transferer des proprietes modele theoriques. Dans le quatrieme chapitre, ces structures sont munies en outre d'une valuation de g sur b, b etant un groupe ordonne. Nous montrons un principe d'ax-kochen-ershov qui nous permet d'axiomatiser certaines d'entre elles et d'obtenir leur decidabilite. Nous appliquons ces resultats pour montrer, entre autres, lorsque b est un groupe ordonne resoluble decidable, la decidabilite de tout corps de series de hahn k=k(b) lorsque la multiplication est restreinte a k b, ainsi que celle de certains produits en couronne (awb)* (ou l'on autorise les supports bien ordonnes). A l'oppose, nous montrons l'indecidabilite des produits en couronne classiques: awb (supports finis) et awb, sont indecidables des que a n'est pas trivial et b contient un element sans torsion. Dans le chapitre ii nous montrons que la classe des groupes n'est pas elementaire dans le langage restreint au commutateur, que sa theorie est indecidable et admet 2 puissance aleph 0 completions. Le chapitre iii est consacre a l'etude des groupes (totalement) ordonnes existentiellement clos. Nous construisons, parmi leurs sous-groupes convexes, une famille uniformement definissable contenant la chaine des rationnels. Nous obtenons aussi une classification de divers problemes ouverts concernant la theorie des groupes ordonnes