Analyse d'équations dispersives avec modulation stochastique

Analysis of stochastic equations with white noise drift

• Auteur / Autrice : Guillaume Fenger
• Direction : Olivier Goubet, Youcef Mammeri
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 09/09/2019
• Etablissement(s) : Amiens
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée (Amiens ; 1995-....)
• Jury : Président / Présidente : Laurent Di Menza
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Goubet, Youcef Mammeri, Françoise Demengel, Ludovic Goudenège, Elisabeth Logak
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Françoise Demengel, Ludovic Goudenège

Mots clés

Mots clés contrôlés

Convergence (mathématiques)

Monte-Carlo, Méthode de

Équations aux dérivées partielles stochastiques

Dispersion (mathématiques)

Mots clés libres

Équation de BBM déterministe

Schéma de Crank-Nicolson

Schéma de Sanz-Serna

Solution forte

Méthode de Monte-Carlo

BBM equation

Crank-Nicolson scheme

Sanz-Serna scheme

Strong solution

Monte-Carlo method

Résumé

Ce travail porte sur l'étude de l'équation de Benjamin-Bona-Mahony (BBM) et l'équation de Benjamin-Bona-Mahony généralisée (gBBM) avec modulation stochastique sur un domaine borné en espace. La première partie est consacrée à la description de ce modèle. Nous rappelons les approximations qui à partir des équations d'Euler aboutissent dans le cas d'un écoulement homogène incompressible irrotationnel à surface libre, unidirectionnel de faible amplitude, dans un milieu peu profond par rapport aux longueurs d'ondes propagées, à l'équation de BBM généralisée. En seconde partie on aborde l'équation déterministe, on y remarque certains opérateurs, mais aussi des quantités invariantes, qui auront un grand rôle à jouer également dans le cas stochastique. On y définit la notion de ''solution mild''. En troisième partie on étudie l'équation de BBM stochastique. On y démontre deux résultats centraux dans cette thèse : l'existence et l'unicité d'une solution mild ''pathwise'', et l'existence et l'unicité d'une solution forte, lorsque certaines hypothèses sur la condition initiale sont vérifiées. Enfin en quatrième partie on étudie la discrétisation de cette équation, ce sera le troisième résultat important de cette thèse. On monte d'abord que le schéma de discrétisation que l'on choisit est bien posé, puis on détermine son ordre fort de discrétisation

This dissertation is about the Benjamin-Bona-Mahony (BBM) equation and the generalized Benjamin-Bona-Mahony (gBBM) equation with white noise dispersion on a bounded domain in space. The first part is devoted to the description of this model. We recall the approximations that from the Euler equations lead in the case of a homogeneous incompressible irrotational free surface flow of small amplitude and unidirectional, in a shallow medium beside the propagated wavelengths, to the generalized BBM equation. In the second part we deal with the deterministic equation, we notice some operators but also invariant quantities which will also have a certain role in the stochastic case. We define the notion of ''mild solution''. In the third part we focus on the stochastic BBM equation. We show two central results in this thesis : the existence and the uniqueness of a solution ''mild pathwise'', and the existence and the uniqueness of a strong solution, when certain hypotheses on the initial condition are vérified. Finally in the fourth part, we study the discretization of this equation, this will be the third important result of this thesis. We first prove that the discretization scheme is well-posed, then we determine its strong order of discretization