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Thèse soutenue

Méthode des éléments finis de haut degré (p-version) : estimation du conditionnement des matrices et constructions de préconditionneurs

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Auteur / Autrice : Olivier Pourquier
Direction : Jean-François Maitre
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences. Analyse numérique
Date : Soutenance en 1994
Etablissement(s) : Ecully, Ecole centrale de Lyon
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques appliquées de Lyon (Ecully, Rhône)

Mots clés

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Mots clés contrôlés

Legendre, Polynômes de
Sobolev, Espaces de
Éléments finis, Méthode des

Résumé

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Les méthodes d'éléments finis p-version sont basées sur des espaces de fonctions continues, polynomiales par morceaux dont les restrictions sont de degré p élevé sur chaque élément d'un maillage de (le domaine de l'équation aux dérivées partielles). Ces espaces sont optimaux pour l'approximation des espaces de Sobolev par des espaces de dimension finie. Ces méthodes utilisent des bases hiérarchiques dans un but adaptatif. Différentes bases ont été proposées jusqu'alors ; l'une d'elles s'impose actuellement : les matrices construites avec cette base sont tres creuses. Pour cette base construite à partir des intégrales mèmes (pour les problèmes d'ordre 2m) des polynomes de Legendre normalisés, nous avons établi les conditionnements en O(p 4(md-k)) des matrices associées au produit scalaire Hk obtenues en dimension d sur un élément. On en déduit par exemple sur , pour m=k=1 et d=2 (probleme elliptique bi-dimentionnel): (1) C1p4 ≤ K(Ap) ≤ C2p4(1+log2(p)). Nous avons ensuite montré qu'il existe des préconditionneurs multiniveaux en O(p2). Ce type de préconditionneurs s'appuie sur une décomposition L2 orthogonale dont nous avons montré que le calcul ne peut pas être raisonnablement approché dans le cadre des bases hiérarchiques. Nous avons enfin etudié un préconditionnement plus simple, à savoir le préconditionnement par la diagonale pour les problêmes d'ordre 2 et 4. Nous prouvons son efficacité : dans tous les cas etudiés, le préconditionnement diagonal permet d'obtenir un conditionnement qui se comporte comme la racine du conditionnement initial, et ce résultat asymptotique se vérifie numériquement dès les plus bas degrés (2, 3, 4. . . ). On en déduit par exemple sur , pour m=k=1 et d=2 (voir (1)) : (2) C1p2 ≤ K(Dp-1/2 ApDp-1/2) ≤ C2p2(1+log2(p)).