Modèles intégrables, groupes quantiques et théorie des noeuds

Integrable models, quantum groups and knot theory

• Auteur / Autrice : Laurent Freidel
• Direction : Jean-Michel Maillet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Chambéry

Résumé

Dans cette thèse nous donnons une présentation des structures algébriques apparaissant lors de l'étude des systèmes intégrables, tout d'abord dans le cadre de la mécanique classique, ensuite dans celui de la théorie des champs de modèles bidimensionnels classiques puis quantiques. Nous nous sommes attachés à présenter d'un point de vue unifie le concept d'intégrabilité à l'aide notamment de la notion de matrice-r et de l'équation de yang-baxter qu'elle obéit. Nous exposons comment ce point de vue conduit à la construction puis à la résolution d'une large classe de modèles physiques. Nous présentons alors une généralisation, que nous avons développé, de ces structures, permettant de définir des algèbres de courant avec terme de Schwinger sur le réseau, et conduisant aux propriétés d'intégrabilité des modèles associés. Nous introduisons ensuite la notion de groupes quantiques, qui joue le rôle d'algèbre de symétrie des modèles intégrables quantiques bidimensionnels, en mettant en évidence l'utilisation de cette notion pour la construction d'invariants de nuds. Ceci nous permet de présenter notre travail donnant la preuve de l'équivalence entre les constructions combinatoire et analytique d'invariants de vassiliev universels en théorie des nuds. Enfin, nous donnons une présentation d'une approche géométrique nouvelle de l'intégrabilité adaptée à l'étude des modèles intégrables en dimension plus grande que 2. Nous appliquons ce schéma a la construction de la matrice-r universelle quantique et de l'algèbre quantique correspondante, uniquement à l'aide de la matrice-r classique et de l'algèbre de lie associée