Champs de vecteurs et théorèmes d'indice sur des espaces singuliers

Vector fields and index theorems on singular spaces

• Auteur / Autrice : Stephane Simon
• Direction : David Trotman
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homologie

Faisceaux, Théorie des

Stratifications

Singularités (mathématiques)

Théorèmes d'indices

Champs vectoriels

Résumé

Ce travail traite de certains champs de vecteurs sur des espaces singuliers. En 1991, m. -h. Schwartz a donne pour les champs radiaux, un theoreme de poincare-hopf sur un ensemble analytique reel. D'un autre cote, la theorie de l'homologie d'intersection sur les pseudo-varietes, developpee par m. Goresky et r. Macpherson a partir de 1980 est, a bien des egards, l'analogue de l'homologie ordinaire sur les varietes lisses. Le premier chapitre montre l'existence de champs (stratifies) dits totalement radiaux (notion due a h. King et d. Trotman en 1993) sur un ensemble stratifie abstrait, en s'appuyant sur le formalisme des stratifications de j. Mather. Ces champs sont stables, et peuvent etre choisis continus sur les espaces stratifies plonges qui sont (c)-reguliers au sens de k. Bekka. Au chapitre deux, on etablit pour ces espaces, un theoreme de poincare-hopf pour les champs totalement radiaux continus. On en deduit un resultat similaire pour les ensembles stratifies abstraits. Au troisieme chapitre, on precise et demontre des inegalites de morse stratifiees dans l'homologie d'intersection pour les perversites p proches de la perversite moitie m. On prouve que le groupe de morse est determine par p(2c) et par le complex link de la strate (de codimension reelle 2c) contenant la singularite. Par ailleurs, on interprete l'egalite de morse comme un theoreme d'indice applique au champ gradient. Enfin au chapitre quatre, nous etablissons pour les champs semi-radiaux (notion aussi due a h. King et d. Trotman), un theoreme de poincare-hopf dans l'homologie d'intersection ; ce chapitre se termine par une reciproque partielle au theoreme et une caracterisation des ensembles stratifies abstraits admettant un champ totalement radial sans singularite