Familles exponentielles sur les cônes symétriques

Exponential families on symmetric cones

• Auteur / Autrice : Evelyne Bernadac
• Direction : Gérard Letac
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1993
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Jordan, Algèbres de

Clifford, Algèbres de

Matrices

Cônes (théorie des opérateurs)

Théorie des groupes

Invariants

Statistique mathématique

Fonctions exponentielles

Résumé

Ce travail étudie la loi gaussienne inverse sur un cône symétrique irréductible. La première partie est consacrée à une caractérisation de cette loi utilisant les fractions continues sur une algèbre de Jordan. On donne deux versions de ce résultat : la première étudie le cas du cône des matrices réelles symétriques définies positives. Dans la deuxième version, on considère un cône symétrique irréductible. La technique de démonstration de la première est celle des lagrangiens réels, et n'est pas généralisable à la deuxième version, dont la démonstration utilise, elle, des identités algébriques relativement compliquées sur les cônes symétriques. Dans la deuxième partie, on considère le cas du cône de révolution et on donne une deuxième démonstration de la caractérisation précédente utilisant les algèbres de Clifford. Dans la troisième partie, on calcule la fonction variance d'une famille exponentielle construite à partir de la loi gaussienne inverse sur le cône des matrices réelles symétriques définies positives et on constate qu'elle n'est pas quadratique en dimension supérieure à un. On présente ensuite une extension d'un résultat de M. Mora qui montre que les lois de Wishart forment un système reproductif comme le faisaient les lois gamma en dimension un, mais qu'il n'en va pas de même pour les lois gaussiennes inverses en dimension supérieure à un.