Etude de la stabilite de filtres numeriques recursifs bi-dimensionnels

Study for testing stability of bidimensional digital recursive filters

• Auteur / Autrice : Michel Barret
• Direction : Messaoud Benidir
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1993
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Deux resultats principaux sont donnes dans cette these. D'une part, il est montre que tout algorithme decidant en un nombre fini de pas de la stabilite de filtres numeriques recursifs bi-dimensionnels quart-plan ou demi-plan non symetrique, doit tester si un resultant particulier s'annule sur le cercle unite. Ce test ne peut pas etre evite, quel que soit l'algorithme utilise. Ce resultat est etabli en etudiant, dans l'espace des polynomes complexes a une variable et de degre n'excedant pas n, le sous-ensemble des polynomes dont toutes les racines sont a l'exterieur strict du cercle unite. Il est d'abord montre que ce sous-ensemble est connexe. Puis l'equation, qui est obtenue en egalant a zero un resultant particulier, de la plus petite hypersurface contenant la frontiere de cet ensemble est donnee. Finalement, il est montre que cette equation est irreductible. D'autre part, un nouvel algorithme pour tester la stabilite de filtres numeriques recursifs bidimensionnels (quart-plan ou demi-plan non symetriques) reels est propose. Tout algorithme de ce type a pour entree un polynome a deux indeterminees, soient n et m les degres par rapport a chacune d'entre elles. Le nombre d'operations requises par l'algorithme peut s'exprimer sous la forme d'un polynome en n et m. Le degre total de ce polynome definit l'ordre de complexite de l'algorithme. Dans cette these, il est prouve que la matrice associee au resultant de bezout apparaissant dans les tests de stabilite de filtres recursifs a un rang de deplacement de 2. L'algorithme de levinson-szego generalise peut donc etre utilise pour calculer rapidement ce resultant. L'algorithme propose repose sur ce fait et a un ordre de complexite egal a 4, alors que les algorithmes equivalents les plus rapides ont un ordre de complexite de 5. Il est egalement donne dans cette these deux procedures permettant de decider, en un nombre fini de pas, si un filtre numerique recursif tri-dimensionnnel est stable ou non et si tous les elements d'un sous-ensemble convexe de polynomes ont tous leurs zeros a l'interieur strict du cercle unite