Groupes d'automorphismes d'arbres

Automorphism groups of trees

• Auteur / Autrice : Francis M. Choucroun
• Direction : Jacques Peyrière
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1993
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse harmonique (mathématiques)

Résumé

Cette thèse traite des groupes d'automorphismes d'arbres épais sans sommet d'ordre un, dont principalement les arbres homogènes ou semi-homogènes, que l'on appelle arbre Bruhat-Tits. On montre d'abord que se donner un tel arbre pointe par un bout équivaut essentiellement à se donner un bon espace ultramétrique localement compact, non compact : ainsi arbres et espaces ultramétriques sont consubstantiels. On considérera les sous-groupes doublement transitifs d'automorphismes d'arbre de Bruhat-Tits, ce sont ceux qui sont fermés et opèrent transitivement sur chaque sphère : on en étudie la structure, qui est analogue à celle des groupes réductifs. Puis, on en fait l'analyse harmonique en termes représentatifs irréductibles qui admettent un vecteur invariant non nul par le fixateur d'une arête. Cette théorie s'applique, à la fois au groupe de tous les automorphismes de l'arbre et aux groupes p-adiques simples de rang relatif un. Elle a des applications à certains groupes discrets qui opèrent sur ces arbres, notamment au groupe libre à un nombre fini de générateurs. Enfin, on construit certains sous-groupes discrets cocompacts de certains groupes p-adiques de rang un. Ces groupes opérant simplement transitivement sur l'emsemble des sommets de numéro donné de l'arbre associé au groupe p-adique ; ce sera le cas du groupe libre et du groupe des homographies de la droite projective sur un corps local dont la caractéristique résiduelle est impaire.