Non-integrabilite des billards definis par certaines perturbations algebriques d'une ellipse, et du flot geodesique de certaines perturbations algebriques d'un ellipsoide

par PHILIPPE LEVALLOIS

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Alain Chenciner.

Soutenue en 1993

à Paris 7 .

mots clés

Résumé

Ce memoire est consacre a l'etude de la separation des separatrices pour des systemes dynamiques completement integrables a deux degres de liberte: billards et flots geodesiques sur un tore ou ellipsoide. On mesure cette separation a l'aide d'une fonction de nelnikov et on calcule les angles d'incidence aux points d'intersection. On montre que pour un systeme hamiltonien a deux degres de liberte la fonction de nelnikov peut toujours etre definie par une integrale convergente grace a un choix convenable de l'integrale premiere; on en fait l'application a une surface proche du tore. On donne une version discrete du calcul d'une fonction de melnikov et on en fait l'application a un billard proche du billard dans l'ellipse. La fonction de melnikov etendue au champ complexe est alors une fonction elliptique, cela permet d'obtenir dans ce cas toutes les orbites heterocliniques primaires. En prolongeant continument, on obtient la non-integrabilite pour des surfaces proches de l'ellipsoide

Titre traduit

Non integrability of billiard for some algebraic perturbations of the ellipse, and of geodesic flow for some algebraic perturbations of the ellipsoid

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