Limites et frontieres de substitutions

Limits and boundaries of substitutions

• Auteur / Autrice : Philippe Narbel
• Direction : Dominique Perrin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1993
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Cette these presente les ensembles asymptotiques que l'on obtient en iterant infiniment une substitution agissant sur des espaces de mots ou de pavages. Sur les mots, les substitutions sont des morphismes iteres sur des semi-groupes libres. En definissant une topologie sur ces espaces, les limites et les frontieres peuvent etre considerees comme des ensembles lies a la compactification du langage obtenu par iteration de la substitution. Une fonction appelee fonction plongeante, construit un ensemble de suites de cauchy tel qu'il est egal aux ensembles asymptotiques a un nombre fini d'elements pres. Cette fonction peut etre representee par une foret d'arbres rationels, et si une bijection est definie entre les feuilles infinies de ces arbres, les limites et les frontieres sont codables par des langages rationels. Cette bijection est assuree lorsque la substitution est circulaire. Elle implique egalement la stricte quasi-periodicite des elements asymptotiques et leur indenombrabilite. La circularite est montree decidable pour les morphismes expansifs. La decidabilite entre deux ensembles asymptotiques est prouvee pour les morphismes primitifs et expansifs. Egalement, elle est exploree au travers d'une generalisation de la fonction plongeante appelee arbres rationels d'ensembles qui est liee aux systemes d'iterations de fonctions. Une des differences principales entre les mots et les pavages est que ces derniers ont des elements asymptotiques de type plus nombreux que pour les mots. On prouve qu'ils apparaissent comme des secteurs du plan et qu'ils peuvent eux aussi etre classifies rationnellement. Finalement, une version etendue des substitutions de pavages est developpee basee sur l'auto-similarite de certains graphes duaux colores appeles ions. Cela permet une version geometrique des mol-systemes