Processus de branchement et marches aleatoires en milieux desordonnes

Branching processes and random walks in disordered media

• Auteur / Autrice : Smail Alili
• Direction : Yves Guivarc'h
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1993
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Dans ce travail, on etudie le comportement asymptotique de marches aleatoires en milieux aleatoires. On envisage differentes sortes d'environnements. Dans le cas d'un environnement stationnaire, l'etude de la chaine de markov decrivant l'environnement vu de la particule est essentielle. En particulier, lorsque le milieu est quasi-periodique et la marche transiente, on montre que cette chaine admet une probabilite invariante absolument continue et on obtient une homogeneisation pour chaque environnement fixe. On envisage d'autre part, deux autres modeles. Le premier est celui d'un milieu independant pour une marche a plusieurs voisins. Sous des conditions de fluctuations de l'environnement, on montre qu'il y a diffusion lente. Le deuxieme est celui d'un milieu forme de barrieres reflechissantes placees aleatoirement et dans lequel, on precise les conditions assurant une homogeneisation ou une diffusion lente. La methode utilisee dans ces deux modeles, repose sur le lien entre marches aleatoires et processus de branchement, exploitant ainsi, une idee due a t. Harris. L'etude des processus de branchement introduits, et qui utilise dans le premier cas les methodes des produits de matrices aleatoires, montre que la loi de la population totale produite est homogene a l'infini. Cette propriete se repercute sur le comportement asymptotique de la marche aleatoire