Les processus d'Ornstein-Uhlenbeck généralisés en théorie de la ruine

Generalized Ornstein-Uhlenbeck Processes in Ruin Theory

• Auteur / Autrice : Jérôme Spielmann
• Direction : Lioudmila Vostrikova
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/12/2019
• Etablissement(s) : Angers
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques / LAREMA
• Jury : Président / Présidente : Loïc Chaumont
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alexander Lindner
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jostein Paulsen, Youri Kabanov

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles stochastiques

Processus stochastiques

Théorèmes des limites (théorie des probabilités)

Semimartingales (mathématiques)

Mots clés libres

Processus d’Ornstein-Uhlenbeck généralisés

Processus autorégressifs

Théorèmes limites

Problème de la ruine avec investissement

Lois à temps fixes

Semimartingales

Generalized Ornstein-Uhlenbeck processes

Autoregressive processes

Limit theorems

Ruin problem with investment

Laws at fixed times

Résumé

Cette thèse contribue à l'étude des processus d’Ornstein-Uhlenbeck généralisés (GOU) et de leurs applications en théorie de la ruine. Les processus GOU, qui sont les solutions de certaines équations différentielles stochastiques linéaires ont été introduits en théorie de la ruine par Paulsen en 1993 en tant que modèles pour le capital d’une assurance soumise au risque de marché. En général, ces processus ont été choisis comme modèles de manière à priori. La première et principale contribution de cette thèse est de montrer que les processus GOU apparaissent de manière naturelle comme limites faibles de processus autoregressifs à coefficients aléatoires, processus qui sont très utilisés en probabilité appliquée. A partir de ce résultat, la convergence en distribution des temps de ruine, la convergence des probabilités de ruine ainsi que la convergence des moments sont aussi démontrées. Le reste de la thèse traite de certaines propriétés des processus GOU. En particulier, le problème de la ruine est traité et de nouvelles bornes sur les probabilités de ruine sont obtenues. Ces résultats généralisent aussi des résultats connus au cas où le risque de marché est modélisé par une semi-martingale. La dernière partie de la thèse s’éloigne de la théorie de la ruine pour passer à l'étude de la loi du processus à temps fixe. En particulier, une équation intégrodifférentielle partielle pour la densité est obtenue, ainsi que des approximations pour la loi en temps courts et longs. Cet éloignement s’explique par le fait que la plupart des mesures de risque utilisées dans la pratique sont basées sur ces lois et non sur la probabilité de ruine.

This thesis is concerned with the study of Generalized Ornstein-Uhlenbeck(GOU) processes and their application in ruin theory. The GOU processes,which are the solutions of certain linear stochastic differential equations, havebeen introduced in ruin theory by Paulsen in 1993 as models for the surpluscapital of insurance companies facing both insurance and market risks.In general, these processes were chosen as suitable models on ana prioribasis. The first and main contribution of this thesis is to show that GOUprocesses appear naturally as weak limits of random coefficient autoregres-sive processes which are used extensively in various domains of applied prob-ability. Using this result, the convergence in distribution of the ruin times,the convergence of the ultimate ruin probability and the moments are alsoshown.The rest of the thesis deals with the study of certain properties of GOU pro-cesses. In particular, the ruin problem for the GOU process is studied andnew bounds on the ruin probabilities are obtained. These results also general-ize some known upper bounds, asymptotic results and conditions for certainruin to the case when the market risk is modelled by a semimartingale.The final section of the thesis moves away from classical ruin theory and layssome first directions for the study of the law of GOU processes at fixed times.In particular, a partial integro-differential equation for the density, large andsmall-time asymptotics are obtained for these laws. This shift away fromthe ruin probability is explained by the fact that most risk measures used inpractice such as Value-at-Risk are based on these laws instead