Feuilletages isodrastiques et phase de Berry-Weinstein pour le mouvement des sous-variétés lagrangiennes : cas des surfaces symplectiques

Isodrastic foliations and Berry-Weinstein's phase for moving lagrangian submanifolds : cas of symplectic surfaces

• Auteur / Autrice : Driss Boutat
• Direction : Gilbert Hector
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 1993
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gilbert Hector

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes d'holonomie

Géométrie symplectique

Fréchet, Espaces de

Feuilletages (mathématiques)

Variétés symplectiques

Résumé

Le physicien M. V. Berry a découvert, en 1983, un nouveau facteur de phase autre que la phase dynamique. Ce facteur s'appelle la phase de Berry. En 1985, B. Simon a donné une interprétation géométrique à cette phase comme étant l'holonomie d'une connexion sur un fibre hermitien. Puis, en 1988 A. Weinstein a donné une autre formulation de la phase de Berry pour les mouvements des sous variétés lagrangiennes dans une variété symplectique, plus précisément les espaces des paramètres sont des isodrastes, d'où des familles à un paramètre de hamiltonien et par conséquent, une action par un groupe de Lie abélien. Ce présent travail a pour but d'étudier les feuilletages iso drastiques de Weinstein et la phase de Weinstein en se restreignant au cas des mouvements des cercles sur une surface symplectique, il comporte cinq chapitres qui sont repartis comme suit: 1) le chapitre 0 dans lequel on rappelle les éléments de géométries symplectiques et d'analyses sur les variétés banachiques; 2) le chapitre 1 est consacré à l'étude transverse des feuilletages isodrastiques de Weinstein et dans lequel on montre que ces feuilletages sont transversalement affine; 3) les trois derniers chapitres sont réservés à l'étude des cas des surfaces symplectiques. En effet, dans le chapitre 2, on décrit les composantes connexes de l'espace c des courbes fermées et simples d'une surface et leurs types d'homotopie. Dans le chapitre 3, on montre que les feuilletages iso drastiques de Weinstein sont simples sur les composantes connexes de c, c'est à dire qu'ils sont donnés par des submersions. Dans quelques situations, ces submersions sont des fibrations produites. Enfin, dans le chapitre 4, on termine par un exemple de calcul de la phase de Weinstein pour une surface orientable quelconque en utilisant l'idée du calcul de Weinstein dans le cas du plan et de la sphère