Des factions continues a la reduction des reseaux : analyse en moyenne

From continued fractions to lattice reduction: average case analysis

• Auteur / Autrice : Hervé Daudé
• Direction : Brigitte Vallée
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1993
• Etablissement(s) : Caen

Résumé

Nous etudions dans cette these la complexite en moyenne des algorithmes d'euclide, de gauss et de lenstra, lenstra, lovasz (lll). Nos principaux resultats portent sur la fonction de repartition de la variable nombre d'iterations de ces trois algorithmes de reduction des reseaux euclidiens. Les systemes aleatoires sont formes de vecteurs choisis uniformement parmi les vecteurs entiers de norme inferieure a une borne fixee. Notre methode d'analyse en moyenne est basee sur un transfert du continu au discret. Dans le premier chapitre, nous transferons des proprietes metriques sur les fractions continues vers l'analyse en moyenne de l'algorithme d'euclide. Nous evaluons ainsi l'ecart entre le nombre d'iterations et sa valeur moyenne: en adaptant a l'algorithme d'euclide centre une majoration de cet ecart donnee par j. D. Dixon, puis en minorant cet ecart. Les proprietes de melange fort mises en lumiere permettent de conjecturer un comportement gaussien pour l'algorithme d'euclide, confirme par des simulations sur des grands entiers. Nous precisons dans le chapitre deux, les liens entre les algorithmes d'euclide et de gauss. Nous encadrons ainsi la fonction de repartition du nombre d'iterations de gauss par deux suites geometriques de raisons tres voisines. Nous proposons ensuite une conjecture sur le comportement geometrique de cet algorithme. Le dernier chapitre generalise les resultats du precedent. Nous determinons la loi des longueurs des orthogonalises d'un systeme aleatoire et estimons la repartition du premier minima d'un reseau euclidien; nous majorons enfin le nombre moyen d'iterations de l'algorithme lll par une expression independante de la longueur des vecteurs d'entree