Thèse soutenue

Etude de quelques problemes aux derivees partielles non lineaires

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Auteur / Autrice : Philippe Laurençot
Direction : Philippe Bénilan
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et applications
Date : Soutenance en 1993
Etablissement(s) : Besançon

Résumé

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Dans cette these, nous etudions divers aspects mathematiques d'equations aux derivees partielles intervenant dans la modelisation de phenomenes physiques. La premiere partie de cette these est consacree a l'etude d'un modele de champ de phase, non isotherme et thermodynamiquement consistant, introduit par o. Penrose et p. C. Fife pour decrire des phenomenes de transitions de phase dans un systeme binaire. Ce modele est constitue de deux equations paraboliques non lineaires du second ordre couplees, decrivant l'evolution d'un parametre d'ordre et de la temperature absolue dans un ouvert borne de l'espace. L'existence de solutions globales en temps de ce systeme, qui soient thermodynamiquement consistantes, c'est-a-dire telles que la temperature reste positive au cours du temps, est etudiee. On montre alors l'existence de solutions faibles ou de solutions fortes, suivant les donnees du probleme. Dans la seconde partie, nous considerons une equation aux derivees partielles dans un espace de hilbert x qui s'ecrit sous la forme d'une perturbation lipschitzienne du sous-differentiel d'une fonction convexe de x, et on suppose que cette equation est fortement dissipative, c'est-a-dire que le comportement asymptotique des solutions de cette equation est decrit par un attracteur maximal dans x. Nous montrons alors la semicontinuite superieure de la famille d'attracteurs engendree par certaines perturbations de la fonction convexe intervenant dans l'equation. Enfin, la troisieme partie est consacree a l'etude du probleme de cauchy pour une equation de schrodinger non lineaire et non locale en dimension d'un espace, intervenant en theorie des ondes de surface. L'existence de solutions de type onde solitaire, ainsi que la stabilite orbitale de ces solutions sont ensuite abordees