Stabilite et unicite des surfaces minimales

par RABAH SOUAM

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Harold William Rosenberg.

Soutenue en 1992

à Paris 7 .

mots clés

Résumé

Cette these se compose de deux parties. Dans la premiere partie, nous nous sommes interesses a l'indice d'une application holomorphe definie sur une surface de riemann compacte a valeurs dans la sphere. Cet indice intervient dans l'etude de la stabilite des surfaces minimales de courbure totale finie dans l'espace euclidien et egalement dans l'etude de la fonctionnelle determinant du laplacien sur les surfaces compactes. S. Montiel et a. Ros ont prouve que, pour une structure complexe generique sur une surface de genre au moins deux, l'indice est superieur ou egal a deux et ils ont conjecture l'existence de certaines structures complexes ayant des applications meromorphes d'indice un. Dans cette partie, nous apportons une reponse positive a cette conjecture en construisant une famille de surfaces de riemann hyperelliptiques munies d'applications meromorphes de degre deux et d'indice un. Dans la seconde partie, nous avons aborde le probleme de la classification des surfaces minimales de l'espace euclidien bordees par quatre droites verticales passant par les sommets d'un parallelogramme et ayant un comportement asymptotique donne. L'interet de ces surfaces et qu'elles fournissent, par un procede de reflexions, des surfaces minimales doublement periodiques regulieres. Dans le cas d'un losange (respectivement d'un rectangle), nous montrons que les surfaces de scherk (respectivement de karcher) sont caracterisees par leur comportement asymptotique

Titre traduit

Stability and uniqueness of minimal surfaces

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