Modélisation, analyse mathématique et simulations numériques de systèmes dynamiques complexes intervenant en ferrorésonance

Modeling, mathematic analysis and numeric simulations for complex dynamical systems encountered in ferroresonance

• Auteur / Autrice : Laure Quivy
• Direction : Jean-Michel Ghidaglia
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1991
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Cette these, divisee en quatre parties, decrit et analyse certains problemes, dits ferroresonants, rencontres par les electrotechniciens sur des reseaux electriques comportant un element non lineaire: l'etude s'y rattachant entre dans le cadre mathematique de la theorie des bifurcations. Dans une premiere partie, le systeme physique est decrit, puis modelise par un systeme d'equations differentielles ordinaires, non lineaires, parametrees et comportant un terme de forcage periodique. Le deuxieme chapitre est une synthese des principes mathematiques requis pour l'etude et la comprehension de ce type de systemes dynamiques non lineaires. Apres avoir presente les notions de stabilite utilisees et expose les differents types de bifurcations pouvant etre rencontres, nous y expliquons, en particulier, comment les theories de floquet et de lyapunov permettent d'etudier l'evolution des solutions du probleme. Dans une troisieme partie, nous presentons et analysons des resultats numeriques obtenus, a partir de ces theories, pour plusieurs modeles ferroresonants caracteristiques. Nous exhibons notamment des bifurcations de solutions periodiques vers des solutions quasi-periodiques qui se produisent lorsque l'amplitude du terme de forcage varie; le calcul des exposants de lyapunov confirme ces resultas et assure du caractere non chaotique du modele. Ces etudes numeriques sont en partie realisees a partir d'auto, logiciel universitaire compose de routines mathematiques sophistiquees et permettant d'obtenir diagrammes et lignes de bifurcation de systeme dynamique. Enfin, le but du dernier chapitre est de presenter une etude mathematique du comportement asymptotique des solutions de l'equation des telegraphistes, equation aux derivees partielles hyperbolique decrivant le meme type de systeme physique. Nous montrons que le comportement des solutions est decrit par un attracteur de dimension finie