Resolution par methodes spectrales de problemes hyperboliques non lineaires

Spectral methods for nonlinear hyperbolic equations

• Auteur / Autrice : SIDI MAHMOUD OULD MOHAMED KABER
• Direction : Yvon Maday
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1991
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Dans le cadre non periodique, on presente une methode d'ajustement au choc qui evite la decomposition du domaine d'etude. Cette methode de collocation generalisee, basee sur une decomposition de la solution du probleme en une partie reguliere et une partie discontinue, est facile a mettre en uvre et donne de bons resultats sur une equation scalaire. Dans le cadre non periodique, on presente deux methodes. La premiere est une extension de la methode de decomposition et permet de controler l'apparition des discontinuites. Dans la deuxieme methode, on ajoute un terme visqueux a l'equation, cette viscosite n'agissant que sur les hautes frequences, responsables des oscillations. Il s'agit de la methode de viscosite spectrale evanescente deja etudiee par maday et tadmor pour un probleme periodique. L'analyse est faite ici sur l'equation modele de burgers avec conditions aux limites. On montre que la solution numerique ainsi obtenue, converge fortement dans l2 vers l'unique solution entropique du probleme. La methode de viscosite spectrale est ensuite appliquee a la resolution des equations de la dynamique des gaz en une dimension d'espace. Dans ces methodes, la solution numerique un est polynomiale et presente donc des oscillations en presence de discontinuites (phenomene de gibbs). On presente une procedure de filtrage adaptee aux fonctions non periodiques. Cette procedure, appliquee a un, permet d'obtenir, en dehors d'un voisinage de la discontinuite, une approximation de la solution exacte avec une precision infinie