Autour de la fonction de hilbert-samuel (escaliers d'ideaux polynomiaux)

par GUILLERMO MORENO SOCIAS

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Marc Giusti.

Soutenue en 1991

à Palaiseau, Ecole polytechnique .


  • Résumé

    Les escaliers d'ideaux dans un anneau de polynomes (appeles aussi order ideal of monomials) sont des objets plus fins que les fonctions de hilbert-samuel, obtenus en introduisant un ordre sur le monomes. Nous etudions ici deux questions de geometrie algebrique effective, en considerant deux types opposes d'escaliers: generiques et compresses. Le calcul des bases standard (ou bases de brobner), peut etre tres couteux (doublement exponentiel). Afin de reduire cette complexite, en nous inspirant d'une idee de giusti nous distinguons les syzygies structurellement nulles de celles qui le sont accidentellement. L'etude des premieres conduit a enoncer plusieurs conjectures, que nous demontrons pour l'ordre lexicographique inverse dans le cas des intersections completes. Nous obtenons en particulier des theoremes de structure qui decrivent explicitement des escaliers generiques. Nous donnons alors diverses heuristiques et strategies pour simplifier l'algorithme de calcul des bases standard dans les cas suffisamment generiques. En 1971, seidenberg avait etudie une question de ntherianite effective (partiellement reposee par mora en 1991): dans un anneau de polynomes a n variables on veut borner la longueur d'une chaine ascendante d'ideaux, ou le k-ieme ideal peut etre engendre en degre au plus f(k). En construisant une chaine maximale avec des escaliers compresses, nous montrons qu'on a une borne recursive primitive en f pour tout n. Nous demontrons aussi qu'il n'y a pas de borne recursive primitive en n, meme si l'on se restreint a des fonctions f a croissance lineaire (la fonction d'ackermann apparait ici inopinement). Plusieurs systemes de calcul formel (maple, macaulay, macsyma, etc. ) ont ete utilises. Nous avons ecrit de nombreux programmes, surtout en lisp: calcul de bases standard (avec choix d'ordres, criteres, strategies et traces), fonctions de hilbert-samuel, complexes de koszul et suites spectrales, calcul dans des algebres quotient, dessins d'escaliers en postscript, etc. )

  • Titre traduit

    On hilbert-samuel functions (stairs of polynomial ideals)


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