Les Endomorphismes dilatants de l'intervalle et leurs perturbations aléatoires

par Abdelaziz Kondah

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Bernard Schmitt.

Soutenue en 1991

à Dijon .

mots clés

• Endomorphismes (théorie des groupes)
• Probabilités
• Théorie ergodique

Résumé

Le sujet de cette thèse est l'étude de la dynamique des endomorphismes dilatants de l'intervalle d'un point de vue ergodique. Dans la première partie utilisant les métriques projectives introduites par G. Birkhoff, dans le cadre des endomorphismes dilatants markoviens, nous exhibons une mesure de probabilité invariante absolument continue dont les propriétés métriques découlent de la construction (mesure de Gibbs exponentiellement mélangeante et vérifiant un principe variationnel). Dans le deuxième partie, nous étudions des perturbations aléatoires de ces mêmes endomorphismes. Sous des hypothèses de type dilatation en moyenne, nous montrons l'existence d'une mesure de probabilité invariante pour le processus stochastique associé. Si de plus, nous faisons l'hypothèse d'indépendance des perturbations, nous établissons des propriétés de grandes déviations de niveau 2 (therminologie thermodynamique) ; ces propriétés induisent en particulier des thèorèmes limites pour les lois de probabilité des temps d'entrée dans des ensembles rares. Enfin, dans la troisième partie, sous des hypothèses de distorsion borne, nous montrons que les endomorphismes de l'intervalle admettent des probabilités invariantes absolument continues et de densité essentiellement bornée relativement à la mesure de Lebesgue.

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