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Thèse soutenue

B-splines polyharmoniques cardinales : interpolation, quasi-interpolation, filtrage

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Auteur / Autrice : Christophe Rabut
Direction : Marc Atteia
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Analyse numérique
Date : Soutenance en 1990
Etablissement(s) : Toulouse 3

Résumé

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Les B-splines polynomiales sont couramment utilisées pour définir simplement une fonction spline qui passe ''près'' de points donnés. Dans le cas où les données sont régulièrement réparties, on apporte, par un traitement préalable des données (convolution avec certains vecteurs à support borné), plus de souplesse à cette opération : on peut alors obtenir une fonction qui passe très près des points -on parle alors de quasi-interpolation- ou au contraire qui filtre les bruits inhérents à ces données on parle alors de filtrage. On montre comment utiliser la méthode de validation croisée pour choisir de façon optimale la force d'un filtrage, qui peut être adaptative, et on propose une méthode de réduction de données, le taux de réduction étant lié à la bande passante du filtre. Ces notions sont ensuite généralisées en dimension quelconque par l'utilisation des B-splines polyharmoniques : après avoir defini les splines polyharmoniques pour des données qui peuvent être en nombre infini, on en donne une expression numériquement plus stable que celle généralement utilisée, et on montre un lien entre splines polyharmoniques d'ordre ou de dimension différents. On définit alors les B-splines polyharmoniques, et on présente leurs propriétés essentielles, très voisines de celles des B-splines polynomiales. On propose l'utilisation de ces B-splines d'une part pour quasi-interpoler ou filtrer des données régulièrement réparties, d'autre part pour déterminer rapidement, par une méthode de subdivision, la spline d'interpolation de ces données. On envisage enfin la généralisation de cette notion de B-spline à des noeuds quelconques et à toute famille de fonctions satisfaisant certaines équations différentielles.