Asymptotique spectrale pour l'equation de hill pres du sommet du potentiel

Spectral asymptotics for hill's equation near the potential maximum

• Auteur / Autrice : CHRISTOPH MARZ
• Direction : Johannes Sjöstrand, Alain Grigis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1990
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

On etudie le spectre d'un operateur de schrodinger semi-classique en dimension un pres du niveau du maximum du potentiel. On suppose que le potentiel soit analytique et admet par periode un seul point de maximum, qui de plus est non degenere. Le spectre est une reunion de bandes, et une valeur d'energie appartient au spectre, si et seulement si la trace de l'operateur de translation par la periode sur l'espace bi-dimensionnel des solutions de l'equation de schrodinger stationnaire correspondante se trouve entre moins deux et deux. Appliquant un resultat de helffer/sjostrand on peut prendre le generateur du groupe des dilatations comme modele pres du maximum du potentiel, et en appliquant un operateur integral de fourier, on trouve des solutions locales qui ont une forme bkw standard en dehors du point de maximum. On arrive a prolonger ces solutions sur une periode, ce qui donne l'asymptotique de la trace de la matrice de translation, et on peut ensuite obtenir la taille des bandes et des ecarts entre les bandes