Méthode du maximum d'entropie sur la moyenne et applications

Maximum entropy method on the mean and applications

• Auteur / Autrice : Fabrice Gamboa
• Direction : Didier Dacunha-Castelle
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1989
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Entropie maximale, Méthode d'

Entropie

Mots clés libres

Maximum d'entropie

Estimation fonctionnelle

Moments généralisés

Grandes déviations

Problème de moments

Résumé

La méthode du maximum d'entropie permet de donner une solution explicite au problème de reconstruction d'une mesure de probabilité lorsque l'on ne dispose que des valeurs moyennes de certaines variables aléatoires. Nous utilisons cette méthode pour reconstruire une fonction contrainte à appartenir à un convexe C (contrainte non linéaire), en utilisant un nombre fini de ses moments généralisés (contrainte linéaire). Pour cela on considère une suite de problèmes de maximisation de l'entropie, le n-ème problème consiste à reconstruire une probabilité sur Cn, projection de C sur Rⁿ, dont la moyenne vérifie une contrainte approchant la contrainte initiale (moments généralisés). Faisant ensuite tendre n vers l’infini, on obtient une solution au problème initial en considérant la limite de la suite des moyennes des lois du maximum d'entropie sur les espaces Cn. Ce procédé de reconstruction est baptisé méthode du maximum d'entropie sur la moyenne (M. E. M), car la contrainte linéaire ne porte que sur la moyenne des lois à reconstruire. On étudie principalement le cas où C est une bande de fonctions continues. On obtient alors une famille de reconstructions, chacun des éléments de cette famille ne dépend que de la suite des mesures de référence utilisée dans la suite des problèmes d'entropie. Nous montrons que la méthode (M. E. M) est équivalente à la maximisation d'un critère concave. Nous utilisons ensuite la méthode (M. E. M) pour construire un critère numériquement calculable permettant de résoudre le problème des moments généralisés sur une bande bornée de fonctions continues. Enfin nous nous intéressons à des applications statistiques de la méthode.

An explicit solution for the problem of probability reconstruction when only the averages of random variables are known is given by the maximum entropy method. We use this method to reconstruct a function constrained to a convex set C, (no linear constraint) using a finite number of its generalized moments linear constraint). A sequence of entropy maximization problems is considered. The nth problem consists in the reconstruction of a probability distribution on Cn, the projection of C on Rⁿ whose mean satisfies a constraint approximating the initial linear constraint (generalized moments). When n approaches infinity this gives a solution for the initial problem as the limit of the sequence of means of maximum entropy distributions on Cn. We call this technique the maximum entropy method on the mean (M. E. M) because linear constraints are only on the mean of the distribution to be reconstructed. We mainly study the case where C is a band of continuous functions. We find a reconstruction familly, each element of this family only depends of referenced measures used for the sequence of entropy problems. We show that the M. E. M method is equivalent to a concav criteria maximization. We then use the M. E. M method to construct a numerically computable criteria to solve generalized moments problem on a bounded band of continuous functions. In the last chapter we discuss statistical applications of the method.