Étude numérique des équations bi-dimensionnelles de Navier-Stokes avec conditions aux limites périodiques

Numerical study of two-dimensional Navier-Stokes equations with periodic boundary conditions

• Auteur / Autrice : Carole Rosier
• Direction : Roger Temam
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1989
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Stabilité des méthodes numériques

Approximation de Fourier

Semi-discrétisation en temps

Turbulence

Variété inertielle approchée

Résumé

Le but de ce travail est de décrire de nouvelles méthodes numériques bien adaptées à la résolution des équations de Navier-Stokes sur de grands temps d'intégration. Introduites par Foias, Manley et Temam, ces méthodes correspondent à la projection des équations sur un espace non linéaire alors que la méthode de Galerkin usuelle peut être interprétée comme une projection sur un espace linéaire, d'où la terminologie de méthode de Galerkin non linéaire. Dans un premier temps nous décrivons le problème et rappelons certains résultats théoriques concernant le comportement des solutions quand t temps vers l'infini. Le second chapitre est consacré à une étude comparative de schémas basée sur différentes discrétisations en temps des équations de Navier-Stokes. Nous montrons que les schémas de type prédicteur-correcteur ou Runge-Kutta sont mieux adaptés à l'approximation de Galerkin que le schéma de projection ou celui d'Adam-Bashforth-Crank-Nicholson. Dans le troisième chapitre nous donnons une motivation théorique de la méthode de Galerkin non linéaire. Puis nous définissons des variétés de dimension finie, appelées variétés inertielles approchées, qui approchent l'attracteur et décrivent l'interaction entre les petites et grandes structures de l'écoulement. Ces variétés inertielles approchées donnent lieu à de nouveaux schémas numériques que nous étudions à la fin du chapitre (la discrétisation en temps étant de type Runge-Kutta). Cette étude numérique est illustrée par les tests numériques du 4e chapitre.

The aim of this work is to describe a new numerical method, well suited for computing the solution of the Navier-Stokes equations over large time intervals. Introduced by Foias, Manley and Temam, this method corresponds to a projection of the equations on a nonlinear subspace, while the usual Galerkin method can be interpreted as a projection on a linear space; this is why it is called ''The nonlinear Galerkin method''. The work is organized as follows. In the first chapter a description of the problem is presented and some theoretical results concerning the behavior as it goes to infinity of the solutions are recalled. The second chapter is devoted to a comparative study of schemes based on different time discretizations of the Navier-Stokes equations. Our study shows that the predictor-corrector or Runge-Kutta schemes are better suited to the Galerkin approximation than a projection scheme or the Adams-Bashforth-Crank­ Nicholson scheme. These schemes are used in the numerical calculations. In the third chapter, a theoretical motivation of the nonlinear Galerkin method is presented. We define manifolds, the approximate inertial manifolds, which approximate the strange attractor, and which describe the interaction between the small and large eddies of the flow. Numerical tests are given in the last chapter.