Théorie de l'élimination et principe du modèle interne en automatique

Elimination theory and internal model principle in control theory

• Auteur / Autrice : Sette Diop
• Direction : Michel Fliess
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences appliquées
• Date : Soutenance en 1989
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Algèbre différentielle

Élimination (algèbre)

Mots clés libres

Automatique non linéaire

Principe du modèle interne

Compensation

Résumé

Deux questions d'automatique théorique sont abordées dans ce rapport : l'élimination et le principe du modèle interne. L'élimination consiste en la transformation d'une représentation d'un système où figure une variable latente en une représentation équivalente (c'est-à-dire du même système) où ne figure plus cette variable. Cette question a été longuement discutée dans la littérature consacrée aux systèmes linéaires constants par des auteurs comme J. C. Willems, H. Blomberg and R. Ylinen, H. H. Rosenbrock, etc. Nous montrons ici que la théorie algébrique différentielle de l'élimination permet de la résoudre presque complètement pour des systèmes aussi généraux que ceux descriptibles par des équations différentielles algébriques à coefficients (constants ou non) dans un corps différentiel de caractéristique nulle. Vues les considérations précédentes la théorie de l'élimination est en fait une technique clé qui peut être utile dans nombre d'autres questions d'automatique dès lors qu'il s'agit d'éliminer une variable arbitraire dans un système d'équations. En particulier, on établit le lien avec le principe du modèle interne. Ce dernier concerne, à l'origine, le classique problème de régulation. Il énonce une propriété de structure nécessaire de tout compensateur destiné à réguler un système sous une condition de régulation tenant compte de signaux de référence et de perturbation, appelés variables exogènes. Succinctement, on peut dire (l'énoncé précis est donné) qu'on montre que tout compensateur d'un système devant assurer une condition de régulation donnée, doit être tel que le système compensé contienne une copie du modèle des variables exogènes. Cette question a d'abord été étudiée par E. J. Davison, puis par W. M. Wonham ct ses collaborateurs. La méthode utilisée ainsi que les résultats que nous obtenons contribuent à éclairer cette théorie. Le résultat essentiel se réduit à un test qui peut être effectué grâce à la procédure d'élimination introduite auparavant.

This report is concerned with two problems of control theory: elimination and internal model principle. Elimination consists of transforming a system representation with latent variable into another representation which no longer has a latent variable but which is equivalent to the previous representation, i. E. Which is of the same system. This question has been discussed at length in the literature concerned with constant linear systems by authors such as J. C. Willems, H. Blomberg and R. Ylinen, H. H. Rosenbrock, etc. We show that the differential algebraic elimination theory provides an almost complete solution to the problem for systems which can be described by differential algebraic equations with constant or non-constant coefficients in a differential field of characteristic zero. After dealing with the above question, we note that elimination theory is a key-tool which may serve to solve other control theory problems, since the basic problem is to eliminate an arbitrary variable in a system of equations. This is especially the link with the internal model principle. The latter is initially concerned with the standard regulator problem. It states a necessary structure property of any compensator designed to regulate a system under some regulation condition invoking reference and disturbance signals, called exogenous variables. Roughly, we may say that any compensator which satisfies a regulation condition must be such that the compensated system contains a copy of the exogenous variable model (the exact statement is given). This question has been addressed by E. J. Davison, W. M. Wonham et al. Our method and results improve on this theory. The main result can be reduced to a test which can be made by means of the previous elimination procedure.