Systèmes dynamiques holomorphes : explosion de points périodiques paraboliques

Holomorphic dynamical systems : explosion of parabolic periodic points

• Auteur / Autrice : Pierre Lavaurs
• Direction : Adrien Douady
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1989
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Itération (mathématiques)

Ensembles de Julia

Dynamique holomorphe

Mots clés libres

Polynômes complexes

Points indifférents

Résumé

L'essentiel de cette thèse est consacrée à l'étude d'une famille d'applications holomorphes au voisinage d'un de ses éléments qui admet un point périodique indifférent. Après avoir rappelé quelques outils théoriques essentiellement introduits par A. Douady dans cette optique (cylindres associés à un point périodique indifférent), nous appliquons ces techniques aux déformations parmi les polynômes du second degré de z→z2 + 1/4 : nous analysons successivement les formes limites que peuvent prendre les ensembles de Julia pour la distance de Hausdorff entre compacts, les formes limites de leurs rayons externes, puis les formes limites de détails convenablement agrandis de l'ensemble de Mandelbrot. Puis nous passons au degré 3, où nous appliquons ces techniques pour monter que l'ensemble des polynômes à Julia connexe n'est pas localement connexe, et étudions les déformations de z→z + z3, plus compliquées car dépendant de façon essentielle de deux paramètres. Enfin nous donnons quelques résultats variés concernant la dynamique des polynômes : résultats combinatoires, où nous justifions un algorithme permettant de décrire la combinatoire de l'ensemble de Mandelbrot, puis montrons que les arbres de Hubbard périodiques de degré 2 peuvent être incarnés par des polynômes; résultat topologique prouvant la cellularité de l’ensemble des polynômes à Julia connexe en tout degré.