Fonctions génératrices et mots aléatoires

Generating functions and random words

• Auteur / Autrice : Loÿs Thimonier
• Direction : Joffroy Beauquier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1988
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Probabilités

Algorithmes

Théorie des machines séquentielles

Langages formels

Fonctions génératrices

Mots clés libres

Transcendance

Analyse asymptomatique

Résumé

Ce travail présente des méthodes et résultats relatifs aux fonctions génératrices, avec des solutions générales de problèmes combinatoires ou probabilistes, et des applications informatiques. D'abord le classique problème des mots aléatoires, dont étaient connues seulement les solutions partielles de cas particuliers, est associé à un langage préfix-free : la recherche d'une probabilité et d'un temps d'attente est ainsi ramenée à la détermination d'une fonction génératrice multivariée; des formules complètes, exactes ou asymptotiques, sont alors établies pour divers exemples, allant des langages réguliers (où interviennent chaînes de Markov et fonctions génératrices rationnelles) à des langages non context-free (comme les palindromes prefix-free sur m lettres, où la fonction génératrice est transcendante). Puis la méthode précédente est appliquée à la gestion de mémoire et à un algorithme de pagination, aux collisions dans une table de hachage (problème des anniversaires) à un algorithme de décodage d'un message transitant par un canal. Ensuite sont prouvées des propriétés des fonctions génératrices à coefficients engendrés par automates, dont fait partie la fonction de Thue-Morse : vérification d'une équation fonctionnelle, développement en produit infini, transcendance, développement en série de fractions rationnelles. Enfin, est proposée une mesure du degré de parallélisme : l'usage de fonctions génératrices de langages réguliers, et d'analyse asymptotique, conduit à un algorithme de calcul de cette mesure, définie ici comme la valeur asymptotique moyenne du rapport entre le temps d'attente et le temps global d'activité des processus concurrents.

This ward presents methods and results about generating functions, with general solutions of combinatorial or probabilistic problems, and applications to computer science. First the classical problem of random words, for which partial solutions of particular cases were only known, is associated with a prefix-free language : so seeking a probability and a waiting time is reduced ta determining a multivariate generating function ; closed formulas, exact or asymptotic, are given for some examples, from regular languages (where Markov chains and rational generating functions occur), to non-context-free languages (as prefix-free palindromes over m letters, where the generating function is transcendental). Then the previous method is applied to: memory allocation and a paging algorithm, collisions in a hash table (birthday surprise), an algorithm for decoding a message transmitted through a channel. Afterwards properties are proved for generating functions with coefficients generated by an automaton, as the Thue-Morse function: verification of a functional equation, expansion into an infinite product, transcendence, expansion into a series of rational fractions. Finally a concurrency measure is proposed: the use of generating functions of regular languages, and of asymptotic analysis, leads to an algorithm for computing this measure defined here as the average asymptotic value of the ration between the waiting time and the global activity time of the concurrent processes.