Approximation diophantienne (théorie de Markoff)

Diophantine analysis (Markoff theory)

• Auteur / Autrice : Serge Perrine
• Direction : Georges Rhin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1988
• Etablissement(s) : Metz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse diophantienne

Markov, Processus de

Approximation, Théorie de l'

Résumé

Vers 1880, A. Markoff a précisé la structure de l'ensemble des constantes d'approximations des nombres irrationnels plus grandes que 1/3. Sa théorie établit un lien entre ces constantes, des minima arithmétiques de formes quadratiques, et les solutions entières de l'équation diophantienne x2 + y2 +z2 = 3xyz. La présente thèse généralise le formalisme original de Markoff. Ceci introduit la notion de (a,r, E) - théorie de Markoff, dont la (2,0,-1) -théorie recouvre les calculs originaux. L'équation diophantienne correspondante est donnée ainsi qu'une interprétation des calculs. Il en résulte la résolution de l'équation diophantienne x2 + y2 +z2 = (a +1)xyz et diverses constructions arborescentes. Pour la recherche systématique des trous des spectres de Markoff et Perron, l'auteur confirme les résultatd de Scheker et Freiman concernant le rayon de Hall. Il donne des exemples et confirme certains résultats de Kinney et Pitcher

Towards 1880, A. Markoff gave precisions about structure of the set of approximation constants greater than 1/3 for irrational numbers. This theory establishes links between constants, arithmetical minima for quadratic forms, and the solutions of the diophantine equation x2 + y2 +z2 = 3xyz. The present dissertation generalizes the original formalism built by Markoff. It introduces the notion of (a, r,E)-theory of Markoff, among which the (2,0,-1) theory is the original Markoff theory. The corresponding diophantine equation is given with an interpretation for the whole calculus. From that is derives the resolution of the diophantine equation x2 + y2 +z2 = (a +1)xyz and some arborescent constructions. For the systematic research of holes in the Markoff's spectra, the author gives confirmation for the results of Schecker and Freiman, concerning the Hall's ray. He gives examples and gives confirmation for some results of Kinney and Pitcher