Unicité, non unicité et continuité Hölder du problème de Cauchy pour des équations aux dérivées partielles : propagation du front d'onde C° pour des équations non linéaires

Uniqueners, nonuniquiners and hoelder continuity in the Cauchy problem for partial differential equations : propagation of the C° wave front for nonlinear equations

• Auteur / Autrice : Hajer Bahouri
• Direction : Serge Alinhac
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1987
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'onde

Cauchy, Problème de

Mots clés libres

Unicité

Non unicité

Problèmes de Cauchy

Parachamps

Continuité Hölder

Pseudo-convexité

Opérateurs paradifférentiels

Paracomposition

Résumé

Cette thèse se compose de deux parties : la première est consacrée à l’étude du problème de Cauchy, la deuxième traite de la propagation Cp pour des équations non linéaires. 1. Problème de Cauchy Dans ce travail, on s’est intéressé essentiellement à l’unicité du problème de Cauchy : étant donnés un opérateur P, une hypersurface S, xo є S, on dit que P possède l’unicité de Cauchy par rapport à S près de X0 si les conditions Pu= 0, u nulle d’un côté de S impliquent u=0 au voisinage de x0 Outre les résultats d’unicité et de non unicité présentés dans ce cadre, nous avons utilisé les techniques de recollement des solutions presque nulles pour établir un résultat de non prolongement unique et adapté la technique des inégalités de Carleman pour étudier les problèmes improprement posés. 2. Propagation CP Nous avons établi dans ce travail des résultats de propagation du front d’onde CP pour une classe d’opérateurs paradifférentiels. Les démonstrations de la première partie reposent sur les méthodes traditionnelles des inégalités de Carleman et de l’optique géométrique. Celle de la seconde partie utilise le calcul paradifférentiel de Bony et la paracomposition d’Alinhac.

This thesis is in two parts : the first is concerned with the Cauchy problem and the second with CP propagation of non linear equations. The Cauchy problem Here we are interested essentially in uniquesess for the Cauchy problem: given an operator P, a hypersurface S, x0 є S, we say that P has the uniqueness property with respect to S near xo if the conditions Pu =0 and u zero on one side of S imply that u=0 in neighbourhood of xo. Besides giving uniqueness and non-uniqueness results in this context, we use the technique of patching together almost zero solutions to prove a result on non unique extensions. We adapt the method of Carleman’s inequalities to investigate incorrectly posed problems. Cp Propagation. We prove results on the propagation of the Cp wave front for a class of paradifferential operators. The proofs in the first part are based on the traditional methods of Carleman’s inequalities and geometric optics. Proofs in the second part use the paradifferential calculus of Bony and the paracomposition of Alinhac.