Observations partielles de diffusions : traitement statistique dans l'asymptotique de la variance

Partial observations of diffusion processes : statistical study for small diffusion coefficient models

• Auteur / Autrice : Valentine Genon-Catalot
• Direction : Patrice Assouad
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1987
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)
• Jury : Président / Présidente : Didier Dacunha-Castelle
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Patrice Assouad, Didier Dacunha-Castelle, Jean Jacod, Dominique Picard, Jean-Claude Saut

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus de diffusion

Mots clés libres

Asymptomatique de la variance

Temps d'atteinte

Estimation paramétrique

Estimation non-paramétrique

Minimum de contraste

Exhaustivité

Tests d'hypothèses

Efficacité

Résumé

L’objet de cette thèse est d'étudier l'estimation de la dérive d'une diffusion à partir d'observations partielles de la trajectoire, dans le cadre asymptotique 0 la variance de la diffusion tend vers 0. Les observations sont effectuées suivant différentes discrétisations du temps observations à instants fixes régulièrement espacés, le pas de discrétisation tendant vers 0 avec la variance pour une diffusion unidimensionnelle, observation des temps d'atteinte de niveaux croissants entre deux niveaux donnés X et A supérieur à X; Pour une diffusion multidimensionnelle, observation des temps et positions d'atteinte de sphères de même centre X de rayons inférieurs à R positif donné. Lorsque les diffusions sont transites, nous montrons l'exhaustivité asymptotique de ces observations par rapport à l’observation en temps continu de la trajectoire. En utilisant différentes vraisemblances approchées ou contrastes, nous construisons des estimateurs asymptotiquement gaussiens et asymptotiquement équivalents à l'estimateur du maximum de vraisemblance basé sur l'observation complète de la trajectoire durant le même intervalle de temps. L'étude statistique repose notamment sur des théorèmes limites pour le processus des temps d’atteinte de niveaux et pour le processus des temps et positions d'atteinte des sphères.

The aim of this thesis is to study drift estimation and testing for diffusion processes from partial observations of the sample path, with asymptotic results as the diffusion coefficient goes to O. The diffusion is not observed continuously in time. We first study the case of measurements made at deterministic equally spaced instants, with a small sampling interval we also consider, for one-dimensional models, the observation consisting of the first hitting times of increasing levels between two given levels x and A greater than x and, for multi-dimensional models, the observation of the first hitting times and positions of spheres with common center x and radii smaller than a given positive R. For transient diffusions, we prove the asymptotic sufficiency of these partial observations with respect to the complete observation of the sample path. By means of approximate likelihood functions (contrasts), we construct estimators which are shown to be asymptotically Gaussian and asymptotically equip­ valet to the maximum likelihood estimator based on the complete observation of the diffusion during the same time interval.