Variétés de Prym, conjecture de la trisécante et ensembles d'Andreotti et Mayer

Prym varieties, the trisecante conjecture and Andreotti-Mayer sets

• Auteur / Autrice : Olivier Debarre
• Direction : Arnaud Beauville
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1987
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés abéliennes

Mots clés libres

Variété de Prym

Problème de Schottky

Ensemble d'Andréoti-Mayer

Résumé

La conjecture de la trisécante énonce qu'une variété abélienne complexe principalement polarisée indécomposable est une jacobienne de courbe al brique si et seulement si la variété de Kummer associée (c'est -dire l'image du morphisme associé au système linéaire des diviseurs linéairement équivalents au double du diviseur thêta), plongée dans l'espace projectif, admet une droite qui la coupe en au moins trois points. On montre cette conjecture dans le cas où la variété abélienne en question est une variété de Prym (généralisée). Cela démontre en particulier la conjecture en dimension inférieure ou égale à 5. Les techniques employées permettent aussi de décrire la famille des variétés abéliennes principalement polarisées de dimension 4 dont le diviseur thêta au nombre donné de points singuliers d'ordre 2 (dits ''thêtaconstantes nulles''). En particulier on montre qu'un seule variété abélienne principalement polarisée de dimension 4 indécomposable a 10 thêtaconstantes nulles, exception faite bien sûr des jacobiennes hyperelliptiques. Enfin, nous montrons qu'en dimension supérieure ou égale à 7, les variétés de Prym forment une composante irréductible de la famille des variétés abéliennes principalement polarisées dont le lieu singulier du diviseur thêta est de codimension au plus 6. Il en résulte que, toujours en dimension au moins 7, les variétés de Prym forment une composante irréductible de la famille des variétés abéliennes principalement polarisées dont la variété de Kummer admet un plan quadri sécant (résultat obtenu en collaboration avec A. Beauville).

The trisecant conjecture states that a complex indecomposable principally polarized abelian variety is the Jacobian of an algebraic curve if and only if the associated Kummer variety (i. E. The image of the morphim associated to the linear system of divisors linearly equivalent to twice the theta divisor), embedded in the projective space, has a line which meets it in at least three points. We prove this conjecture in case where the principally polarized abelian variety under consideration is a (generalized) Prym variety. This proves in particular the conjecture in dimension less or equal to 5. Our techniques also yield a description of the family of principally polarized abelian varieties of dimension 4 for which the theta divisor has a given number of singular points of order 2 (so-called ''vanishing thetanulls''). In particular, we show that only one indecomposable principally polarized abelian variety of dimension 4 has 10 vanishing thetanulls, except of course for hyperelliptic Jacobians. Finally, we show that in dimension at least 7, Prym varieties form an irreducible component of the family of principally polarized abelian varieties for which the singular locus of the theta divisor is of codimension at most 6. It follows that, still in dimension at least 7, Prym varieties form an irreducible component of the family of principally polarized abelian varieties whose Kummer variety has a quadrisecant plane (result obtained in collaboration with A. Beauville).