Formule de weyl dans un domaine plan avec coupure

• Auteur / Autrice : Nouredine Benkaza
• Direction : Claude Bardos
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 1987
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Dans ce travail, on se propose d'etudier le probleme suivant: supposant connues les valeurs propres du laplacien agissant sur l'espace des fonctions de carre integrable sur un ouvert borne d du plan et associe aux conditions aux limites du type dirichlet ou neumann, on se propose d'en deduire les caracteristiques geometriques ou topologiques de cet ouvert. Nous allons nous interesser plus particulierement au cas ou d possede une frontiere tres peu reguliere: le cas ou d est un polygone presentant des coupures; on sait que dans ce cas la frontiere est decrite en coordonnees locales par des fonctions qui sont a peine continues, lipschitziennes en dehors de la coupure. La methode utilisee est classique: elle consiste a estimer la trace de l'operateur de la chaleur qui est egale a la somme des exponentielles des valeurs propres multipliees par le temps t. Pour cela, on montre que la trace de l'operateur de la chaleur est egale a l'integrale d de la diagonale du noyau de green de cet operateur. Ce noyau n'etant pas en general calculable, on l'exprimera en fonction de la solution fondamentale de l'equation de la chaleur dans le plan notee e. On relie d'abord ces deux distributions par une relation implicite puis par iterations successives, on exprime le noyau de green par une serie dont le enieme terme est la puissance enieme d'un operateur integro-differentiel sur le bord b applique a e. On integre alors cette serie sur d pour aboutir a un developpement de la trace pour des petits t: le premier terme de la serie donnera l'aire de d divise par t, le deuxieme terme la longueur de la frontiere sans la coupure divisee par la racine de t et c'est la le resultat essentiel: la coupure ne se comporte pas comme le reste: elle a une influence negligeable sur la trace. Les autres termes de la serie donnent a une erreur exponentiellement petite une constante