L'étude de la règle de métrique riemannienne de Fisher-Rao et des règles de alpha-connexion affine de Chentsov-AmariL'approximation de densité par projection poursuite

On the rule of riemannian metric of Fisher-Rao and the rule of affine connexion of Cencov-Amari : projection pursuit

• Auteur / Autrice : Han-Ping Li
• Direction : Dominique Picard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Statistique mathématique
• Date : Soutenance en 1986
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)
• Jury : Président / Présidente : Didier Dacunha-Castelle
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Robert Azencott, Didier Dacunha-Castelle, Jean L. Bretagnolle, Jean-Pierre Raoult, Dominique Picard

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie différentielle

Mots clés libres

Métrique riemannienne

Connexion affine

Invariance

Expérience séparable

Projection poursuite

Expérience régulière

Continuité

Approximation de densité

Résumé

Dans une classe d’expériences statistiques, nous introduisons la notion d’une règle de métrique riemannienne et la notion d’une rège de connexion affine. Nous démontrons que pour la classe des expériences régulières, la règle de métrique riemannienne de Fisher-Rao et les règles de α-connexion affine de Chentsov-Amari sont toutes paramétrage-libres, isomorphisme-invariantes, plongement-invariantes, projectivement-invariantes, et C-continues. Nous signalons que pour la classe des expériences discrètes, il existe une règle de métrique riemannienne vérifiant l’invariance d’isomorphisme mais qui n’est pas proportionnelle à la règle de métrique riemannienne de Fisher-Rao. Nous démontrons que pour la classe des expériences exponentielles, il existe une règle de métrique riemannienne vérifiant l’invariance de plongement mais qui n’est pas proportionnelle à la règle de métrique riemannienne de Fisher-Rao. Nous donnerons un exemple pour montrer que la règle de métrique riemannienne de Fisher-Rao n’est pas continue au sens de la déficience de Le Cam dans certains cas. Nous démontrons finalement que pour la classe des expériences séparables, toutes les règles de métrique riemannienne vérifiant l’invariance de plongement et la C-continuité sont proportionnelles à la règle de métrique riemannienne de Fisher-Rao ; toutes les règles de connexion affine vérifiant l’invariance de plongement et la C-continuité sont proportionnelles aux règles de α-connexion affine de Chentsov-Amari pour un α appartenant à Ɍ. La deuxième partie est concernée par l’étude de la méthode de « Projection poursuite » pour l’approximation de densité. Nous déterminons la procédure de projection poursuite (g(m)(x)) mEN pour la densité d’une loi gaussienne ϕ(µ, Σ) et la vitesse de convergence. Nous montrons que g(m)(x) se trouvent sur le cercle joignant g(O)(x) et ϕ(µ, Σ). Nous faisons finalement une comparaison entre diverses mesures de la divergence.

First Part. The concept of a Riemannian metric rule and the concept of an affine connexion rule are introduced in a class of statistical experiments. We prove that in the class of regular experiments, the Riemannian metric rule of Fisher-Rao and the α-affine connexion rule of Chentsov-Amari are parameter-free, isomorphism-invariant, embedding-invariant, projectively-invariant and C-continuous. We point out that in the class of discrete experiments; there is a Riemannian metric rule which verifies the isomorphism-invariance and which is not proportional to that of Fisher-Rao. We point out also that in the class of exponential experiments, there is a Riemannian metric rule which verifies embedding-invariant and which is not proportional to that of Fisher-Rao. We give an example to show that the Riemannian metric rule of Fisher-Rao is not continuous in the sens of the Le cam’s deficiency. We prove finally that in the class of separable experiments, all Riemannian metric rules verifying the embedding-invariance and C-continuity are proportional to the Riemannian metric rule of Fisher-Rao and that all affine connexion rules verifying the embedding-invariance and C-continuity are proportional to the α-affine connexion rule of Chentsov-Amari for some real α. Second Part. Certain results on the projection pursuit density approximation are obtained. The procedure (g(m)(x)) mEN for a gaussian density ϕ(µ, Σ) and the speed of convergence are determined. That g(m)(x) situate at the circle joining g(O)(x) and ϕ(µ, Σ) is showed. A comparison of several divergence measures is made.