Étude de mesures aléatoires et calculs de dimensions de Hausdorff

On some randam measures and determination of Hausdorff dimensions of some sets

• Auteur / Autrice : Fathi Ben Nasr
• Direction : Jacques Peyrière
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance en 1986
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mesures aléatoires

Théorie ergodique

Mots clés libres

Dimension de Hausdorff

Processus multiplicatifs

Substitutions

Mesures

Fractales

Résumé

Ce travail comprend deux parties. La première traite du calcul de la dimension de Hausdorff de certains ensembles du plan dont les recouvrements naturels se font au moyen de rectangles qui s'aplatissent à mesure que leur diamètre tend vers zéro. Or on sait que les mesures et dimension de Hausdorff se définissent au moyen de recouvrements par des boules. Il se pose donc le problème de passer d'un recouvrement économique par des rectangles à un recouvrement économique par des boules. Les ensembles que nous étudions sont définis par des propriétés des développements dans des bases éventuellement différentes des coordonnées de leurs points. Dans certains cas nous savons déterminer la dimension de Hausdorff de ces ensembles, dans d'autres nous en obtenons seulement un encadrement. Cette étude tire son origine de résultats d'Eggleston qu'elle généralise. Nous étudions aussi des ensembles aléatoires obtenus en effectuant des partages aléatoires successifs à la manière de Cantor, et déterminons leur dimension de Hausdorff, généralisant et améliorant ainsi des résultats de J. Peyrière. Dans la seconde partie nous définissons et étudions une variante d'un modèle de turbulence dû à B. Mandelbrot et étudié par J. P. Kahane et J. Peyrière : une mesure aléatoire est définie par un produit infini de fonctions aléatoires. Nous donnons une condition nécessaire et suffisante de non-dégénérescence de ce processus. Nous déterminons aussi à quelle condition certains moments sont finis et donnons la dimension minimum des boréliens qui portent une partie de cette mesure.

This thesis is divided into two parts. The first one deals with the determination of the Hausdorff dimension of some planar sets of which the natural coverings are made of rectangles which become thinner and thinner as their diameter tends to zero. But we know that measures and Hausdorff dimension are defined by the mean of cave­ rings by balls. So the problem to pass from economical coverings by rectangles to economical coverings by balls is posed. The sets we are studying are defined by properties of the expansions in two different bases of the coordinates of their points. In certain cases we determine the Hausdorff dimension of these sets, which in ether cases we only obtain lower and upper bounds for it. This study sterns results by Eggleston which we generalize. We also determine the dimension of sets obtained by Cantor like constructions, generalizing and improving results by Peyrière. In the second part we define and study a modification of a model of turbulence due to B. Mandelbrot and studied by J. P. Kahane and J. Peyrière: a random measure is defined by an infinite product of random functions. We give a necessary and sufficient condition of non-degeneracy of this process. We also determine under what conditions within moments are finite and get the minimum dimension of sets which carry a part of this measure.