Structures géométriques sur les variétés de dimension 3 et applications

Geometric structures on three dimensional manifolds and applications

• Auteur / Autrice : Francis Bonahon
• Direction : Directeur de thèse inconnu
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences mathématiques
• Date : Soutenance en 1985
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)
• Jury : Président / Présidente : Jean Cerf

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie hyperbolique

Cobordisme

Difféomorphismes

Mots clés libres

Nœud fibré

Espace lenticulaire

Espace lenticulaire

Ensemble limite

Résumé

Cette thèse est formée de trois parties distinctes. Dans la première partir, on calcule le groupe de cobordisme des difféomorphismes de surfaces. On utilise pour cela des méthodes géométriques, et notamment divers scindements caractéristiques de variétés de dimension 3 en morceaux munis de structures géométriques. Puis on applique ce calcul et d’autres techniques géométriques à un problème de cobordisme de nœuds. La deuxième partie est consacrée aux structures elliptiques, c’est-à-dire aux métriques riemanniennes de courbure constante +1, sur les espaces lenticulaires de dimension 3. On montre que celles-ci sont toutes équivalentes par isotopie. Ceci revient à calculer le groupe de classes d’isotopie de difféomorphismes pour chaque espace lenticulaire. Dans la troisième partie, on étudie le comportement à l’infini des variétés hyperboliques de dimension 3 dont le groupe fondamental est de type fini et, disons, indécomposable en produit libre. On démontre en particulier que celles-ci sont « géométriquement sages » dans le sens défini par Thurston. Un corollaire est que ces variétés satisfont la conjecture d’Ahlfors sur la mesure de leur ensemble limite.

This thesis consists of three distinct parts. In the first part, the cobordism group of surface diffeomorphisms is computed. We use for these purpose geometric methods, in particular various characteristic splitting of 3-manifolds into pieces equipped with geometric structures. This computation, together with other geometric methods, is also applied to a problem of knot cobordism. The second part is devoted to elliptic structures, i. E. Riemannian metrics of constant curvature +1, on 3-dimensional lens spaces. We show that these elliptic structures are all isotopic. This amounts to computing the group of isotopy classes of diffeomorphisms of any given lens space. In the third part, we study the behaviour at infinity of hyperbolic a manifold whose fundamental group are finitely generated and, say, does not split as a free product. In particular, we show that these manifolds are “geometrically tame” in the sense introduced by Thurston. A corollary is that these hyperbolic manifolds satisfy the Ahlfors conjecture on the measure of their limit set.