Thèse soutenue

Domaines de Lavrentiev

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Auteur / Autrice : Michel Zinsmeister
Direction : Yves Meyer
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Sciences mathématiques
Date : Soutenance en 1985
Etablissement(s) : Paris 11
Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)
Jury : Président / Présidente : Jean-Pierre Kahane
Examinateurs / Examinatrices : Yves Meyer, Jean-Pierre Kahane, Alano Ancona, Claude Dellacherie, David Jerison, Jacques Peyrière

Résumé

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Cette thèse présente tout d’abord les principales propriétés de la représentation conforme d’un domaine Ω simplement connexe du plan dont le bord Γ est une courbe rectifiable régulière au sens d’Ahlfors. Cette étude permet de munir l’ensemble L des domaines de Lavrentiev d’une structure analytique complexe analogue à celle de l’espace universel de Teichmüller l’espace de Banach sous-jacent étant ici BMO. L’opérateur de Cauchy C opérant sur L²(Γ,ds) apparaît alors comme dépendant analytiquement de Γ E L. Dans une deuxième partie, on étudie le problème de Neuman pour les domaines de Jordan rectifiables. On caractérise géométriquement les domaines pour lesquels ce problème peut se résoudre dans un Lp(Γ,ds) (p > 1). On construit également, pour tout p > 1, un domaine de Laventriev pour lequel on ne peut résoudre le problème de Neuman dans Lp. Enfin, certains analogues quasiconformes sont établis, permettant d’ébaucher une théorie en dimension supérieure.