Variétés de dimension quatre admettant des fibrations

Manifolds of dimension four admitting fibrations

• Auteur / Autrice : Yibo Zhang
• Direction : Louis Funar, Gregory McShane
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/04/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Athanase Papadopoulos
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Delphine Moussard, Philippe Eyssidieux
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Stepan Orevkov, Juan Souto Clément

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes de monodromie

Fibrations (mathématiques)

Mots clés libres

4-Variété

Fibration

Espace des modules

4-Manifold

Fibration

Moduli space

Résumé

Cette thèse présente des résultats de finitude et de rigidité pour les variétés de dimension 4 admettant des fibrations.Tout d'abord, nous étudions la fibration du tore sur la 2-sphère, à savoir une fibration dont la fibre générique est le tore. Le type des singularités est défini comme étant le multi-ensemble des classes de conjugaison des monodromies de fibres autour des fibres singulières. Nous montrons que, si deux fibrations de tore sur S^2 ont le même type des singularités, alors leurs monodromies globales sont Hurwitz-équivalentes après avoir effectué des sommes directes avec une certaine fibration de Lefschetz du tore. Cette fibration supplémentaire du tore de Lefschetz est universelle lorsque le type des singularités est "simple". Deuxièmement, nous étudions la fibration holomorphe, à savoir une variété complexe de dimension 2 se projetant sur une surface de Riemann de manière holomorphe. L’application classifiante d'une fibration holomorphe après suppression des fibres singulières, lorsqu'elle n'est pas isotriviale, est une carte holomorphe non constante F:Bightarrow mathcal{M}_h. Ici B est une surface hyperbolique de type (g,n), mathcal{M}_h est l'espace de modules des surfaces de Riemann fermées de genre h et l'image F(B) est appelée une courbe holomorphe dans mathcal{M}_h. Nous montrons que, lorsque tous les monodromies périphériques sont d'ordre infini, la carte holomorphe est une immersion quasi-isométrique dont les paramètres ne dépendent que de g, n, h et de la systole de B. Lorsque les monodromies périphériques satisfont également une condition supplémentaire, nous trouvons un relèvement qui plonge quasi-isométriquement un polygone fondamental de la surface hyperbolique B dans l'espace de Teichmüller. De plus, nous améliorons le théorème de finitude de Parshin-Arakelov, en démontrant qu'il n'existe qu'un nombre fini d'homomorphismes de monodromie induits par des courbes holomorphes de type (g,n) dans mathcal{M}_h où la systole est bornée loin de 0, à une équivalence près.

This thesis presents finiteness and rigidity results for 4-manifolds admitting fibrations. First, we study the torus fibration over the 2-sphere, namely, a fibration whose generic fibre is the torus. The type of singularities is defined to be the multi-set of conjugacy classes of fibre monodromies around singular fibres. We show that, if two torus fibrations over S^2 have the same type of singularities, then their global monodromies are Hurwitz equivalent after performing direct sums with a certain torus Lefschetz fibration. This additional torus Lefschetz fibration is universal when the type of singularities is "simple".Second, we study the holomorphic fibration, namely, a 2-dimensional complex manifold projecting into a Riemann surface holomorphically. The classifying map of a holomorphic fibration after removing singular fibres, when it is non-isotrivial, is a non-constant holomorphic map F:Bightarrow mathcal{M}_h. Here B is a hyperbolic surface of type (g,n),mathcal{M}_h is the moduli space of closed Riemann surfaces of genus h and the image F(B) is called a holomorphic curve in mathcal{M}_h. We show that, when all peripheral monodromies are of infinite order, the holomorphic map is a quasi-isometric immersion with parameters depending only on g, n, h and the systole of B. When peripheral monodromies also satisfy an additional condition, we find a lift quasi-isometrically embedding a fundamental polygon of the hyperbolic surface B into the Teichmüller space. Besides, we improve the Parshin-Arakelov finiteness theorem, by proving that there are only finitely many monodromy homomorphisms induced by holomorphic curves of type (g,n) in mathcal{M}_h where systole is bounded away from 0, up to equivalence.