Inégalités systoliques en géométrie métrique et géométrie de contact

Systolic inequalities in metric and contact geometry

• Auteur / Autrice : Simon Vialaret
• Direction : Rémi Leclercq
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2021
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay en cotutelle avec université de la Ruhr à Bochum
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Topologie et dynamique
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Invariants spectraux

Inégalité systolique

Géométrie de contact

Spectral invariants

Systolic inequalities

Contact geometry

Résumé

Dans ce projet de thèse, je souhaite étudier le rôle des symétries en géométrie systolique, à la fois dans le cadre riemannien classique, et dans le cadre de la géométrie de contact. L'objet d'étude central de ce projet est le rapport systolique d'une métrique Riemannienne ou Finslérienne, ou plus généralement d'une forme de contact. Ce projet se concentre sur trois questions ouvertes. La première concerne l'obtention de bornes optimales du rapport systolique d'une métrique Finsler de révolution sur la sphère de dimension 2. Les deux autres concernent l'existence de bornes supérieures du rapport systolique de forme de contact sur le tore et la sphère de dimension 3 présentant des symétries adéquates.

In this PhD-proposal, I wish to explore the idea that symmetries should play a relevant role in systolic geometry, both in the classical metric setting and in the new contact setting. The central object of the project is the systolic ratio of a Riemannian or Finsler metric or, more generally, of a contact form. I will address three concrete open questions about this quantity. The first one concerns metric geometry and asks for sharp bounds for the systolic ratio of Finsler metrics on the two-sphere having a rotational symmetry. The other two questions concern the existence of upper bounds for the systolic ratio of suitably symmetric contact forms on the three-sphere and the three-torus.